Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Значения К(а) Z(9\a), 6D. « = 0o(2°)90o, 5O(10°)85°, 9 = 0°(5°)90°. T а б л и ц а 17;8. Лямбда-функция Хеймана Л0(ф\«) .......................... 436
Л<,(?/«) - + -ВД2(Ф\90°-сО, 6D;
К'(я) тг
a = 0°(2°)90% 5°(10о)85°, ? = 0°(5°)90°.
Таблица 17.9. Эллиптический интеграл третьего рода П(л; ф\а) .............. 439
5D; « = 0(0.1)1, <р, а = 0°(15°)90°
Литература .................................................................... 441
26 — под ред. В, А. Диткина, Л. Н. Кармазииой 402
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
17.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
Если K(v, >0 — рациональная функция от д: и т, где I Ki яаляется мноючленом третьей или четвертой степени от то
J R(x, у) а
называется эллиптическим.
Эллиптический интеграл в общем случае не выражается через элементарные функции. Исключение составляют случаи:
(a) когда R(x, У) не содержит нечетных степеней у\
(b) когда многочлен у* ранен произведению двух равных квадратных трехчленов
Эти случаи здесь не рассматриваются.
Подставляя вместо четных степеней у их выражения через многочлены от х, обозначаемые через р,(х) (s не является показателем степени многочлена), получим (см. [17.7])
PiM + WsM
Rix, у) =
PaW + JJ11W
_ EpiW + УрЛ^)] If'-i'-y) — УРЛхЯу ИРЛХ)Г - уЧР,ЫГ) У
р,Ы + ур, W
¦ ад +
где Ai(.v) и Ri(X) — рапионатьные фуз<кщш от л\
Выделяя из Rz(x) целую часть и разлагая оставшуюся правильную дробь на простые (см. [17.22]), находим
j Щх, у) dx --- j R1(X) dx-t S As J XsJr1 dx +
+ Д Б, „ J [(X - с„У }'УЛ dx, где ст могут быть и комплексными числами.
Рекуррентные формулы
Пусть имеют место СООТНОІПЄНИЯ
17.1.2. у2 = ci0x4 + a1x5 + c3x2 + o3x + Oi
Cl Got + Iflil Ф 0),
г - Ьа(х - с)4 + h(x - с)8 + b2(x - Cf +
+ Ъ3(х — с) + bt (|Ь0| + I M фО),
17.1.3. Zs-J X1 у-1 dx, Jit = J - с)*]-1 dx.
Интегрируя цервые производные произведений ,уд:* и — с)~г, получим рекуррентные формулы
17.1.4, (s + 2) аоЪ+ъ + у (2s + 3) /т + a2(s + 1)/№ +
+ у (2s + 1) Is + SaiSs-,. - х*у (s = 0, 1, 2,
17.1.5. (2 - 5) boJ8-, + (3 - 2s) J5—2 + h(\ - s)Je-i + 2
+ -1- (I - 2s) Л - Sb4Jt-H == Xx - с)-« (9 « 1, 2, 3, ...).
С помошью этих формул и известных преобразований (см примеры 1 и ?) любой эллиптический интеграл можно выразить через интеграл от рациональной функции и три канонические формы эллиптических интегралов.
Определения
17.2.1. т = sin2 а; т — параметр, а — модулярный угол.
17.2. КАНОНИЧЕС КИЕ ФОРМЫ
Эллиптический интеграл второго рода 17.2.8. ?(ч»\а) - Е(и \ т) = J (1 - fy1'2^- mt*)1'* dt.
17.2.2. л =S sin 9 = sn ы.
17.2.3. cos 9 = сп и.
17.2.4. (1 — т sin2 <р)1/2 — dn и = Д(ф) — дельта-ам-
плитуда,
17.2.5. 9 = arcsin (sn и) = аш и — амплитуда. Эллиптическим интеграл первого рода
17.2.6. Яф\а) = Я? 1 m) = J (1 - smE а Sma 0) -1'« dO,
и
X
17.2.7. Лф\а) - F(y I т) = J 1(1 - га)(1 - ml2)] jy^dt,
о s
F(<р\а) ¦= F(f I т) — ^ dw = к.
17.2.9. ?(<р\а) - Е(и\ т) = j (1 - sm2 а sin2 8)1'8 dB,
и
17.2.10. Д<р\а) = Е(и\ т) « J dn2 w dw.
17.2.И.. ?(9 V) = Е(и I т) =ч W1W -і- т J cns w dw.
о
17.2.12. Е(9\й) - и - т J sna w dw.
о
17.2.13. ?(„\«) = + У*».
2Кіт) »,(ТСИ/2К) Кіт)
(Тэта-функции см. в гл. 16.) 17.3. ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА . 403
Эллиптический интеграл третьего рода 17.2.14. П(л; ср\а) =*
(1-й Sina 0)J [1 - sin2 a Sin2 О]-1'2 db.
Если а- — sn (и I г»), то
17.2.15. П(и; и\т) =
X
= J(1 - ^)-4(1 - I2) О - mf)]-1'* dt,
17.2.16. П(н; мі т) = J (1 - я sn* (w| w))-1 dw.
Амплитуда 9
17.2.17. ф = ага и = arcsin (sn t() ^ arcsin x может быть вычислена по табл. 17.5 и 4.14.
Параметр т
Зазчсимэсть эллипгических интегралов от параметра т обозначается вертикальной чертой, например FOp ] м). Дополнительный параметр W1 определяется равгнетом
17.2.18. т + Ht1 = I.
Если парамзтр действителен, то его всегда можно свести к отрезку (см. 17.4).
Модулярный угол а
Зависимость эллиптических интегралов or модулярного угла а, определенного в 17.2.1, обозначается наклонной влево чертой, например Е(ф\«)- Дополнительный модуляр-
ныйугол есть — — «, или 90°— а. В соответствии с 17.2.18 2
и 17.2.1 имеем
mi = sin2 (90° — а) = cos2 а.
Модуль к
В теории эллиптических функций Якоби (см. гл. 16) модуль к и дополнительный модуль к' определяются равенствами
17.2.19. к ^ns (К + ІК'), к' = dn К.
Их связь с параметрами т и Jn1 такова: к* = т, к'г W1. Зависимость эллипгических интегралов от модуля к обозначается через запятую, например Щп; и, к)
В вычислениях модуль используется редко, так как основной и дополнительный параметры формируются в эллиптических интеграл ах естественным образом. Поэтому в этой главе модуль использоваться ие будет.
Характеристика п
Эллиптический интеграл третьего рода является функцией трех переменных: параметра, амплитуды и характеристики п. Действительная характеристика изменяется в интервале (—ао, оо). Свойства эллиптического интеграла третьего рода существенно зависят от величины характеристики (см. 17,7).
