Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
3.2 -0.1476304 — 0.00І73 0.009701 0.0002
3.4 -0.1376005 -0.00138 0.008443 0.0002
3.6 -0.1286601 -0.00112 0.007391 0.0001
3.8 -0.1206469 -0.00091 0.006505 0.0001
4.0 -0.1134296 -0.00075 0.005753
4.2 -0.1069004 -0.00062 0.005111
4.4 -0.1009699 -0.00052 0.004560
4.6 -0.0955634 - 0.00044 0.004085
4.S -0.0906180 -0.00037 0.003672
5.0 -0.0860804 -0.00032 0.003313
5.2 -0.0819049 -0.00027 0.002998
5.4 -0.0780523 -0.00023 0.002722
5.6 -0.0744888 -0.00020 0.002478
5.8 - 0.0711850 -0.00018 0.002262 10.2. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
261
Продолжение таблицы
-C MO »,(C) ».(O ВД
6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 -0.0681152 -0.0652570 - 0.0625905 -0.0600985 -0.0577653 -0.0555773 -0.00015 -0.00013 -0.00012 -0.00010 -0.00009 -0.00008 0.002070 0.001899 0.001746 0.001609 0.001486 0.001375
(-0-W. WO Hja (-O-1" ».(И я, (О
0.40 0.36 0.32 0.28 0.24 -0.0645731 -0.0487592 -0.0352949 — 0.0242415 -0.0155683 -0.00013 -0.00005 -0.00002 -0.00001 0.001859 0.001056 0.000551 0.000259 0.000106 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 0.00 -0.0091416 -0.0047276 -0.0020068 -0.0005965 -0.0000747 -0.0000000 0.000037 0.000010 0.000002
10.2. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Разложения в степенной ряд
ОПРЕДЕЛШИЯ Дифференциальное уравнение
10.2.1. sV + 2zw' - [z' + Ttifl + 1)] w = 0
(л-0, ±1, ±2, ...). Частные решения этого уравнения — модифицированные сферические функции Бесселя первого рода:
10.2.2. Mze*'
(-it < arg z «S ті/2),
Iw(Z) = е^'Упііе ^1'*) (тг/2 с arg Z ^ TZ), второго рода:
10.2.3. = е^+1^/2^^*"3)
(— тс < arg z < rt/2),
(тс/2 < arg г ^ 7:),
третьего рода: Ю.2.4. =
= (тт/2) (- Ц«Н і/з(г) - L^idz)].
Пары функций
V тс/(2г) /я+і;а(г), Vtc/(2z) /_я-і;8(г) ;
являются линейно независимыми решениями уравнения 10.2.1 для каждого п.
Большинство свойств модифицированных сферических функций Бе ссе: 1Я может быть получено из свойств сферических функций Бссссля с помощью вышеуказанных соотношений.
10.2.5. V«/(2z) WaO) =
xh + -"2-I IK
1*3 -5...(2л+ 1)
1 )(2п + 3) 2!(2и + 3) (2и + 5)
10.2.6. VwiM1U
z*/2 , №)!
I П(1
1!(1 -2л) 2!(1 - 2») (3 - 2«) Вронскианы
10.2.7. W{VW(2i) Дн-ілЮ. VW(2F)/-_„,(*)} -
= (-1)"+?-1.
10.2.8. W{Vw(2F)Ws, i/W(2F) ¦= - "ZjP-
Выражения через элементарные функции
10.2.9. Vn/(2z)7„,;!(z) -
- (2z)1 [7ї(іі -: 1/2, -z)e» - (-«"«я + 1/2, r)<r»].
10.2.10. Vir/pT)/_»_!,,(z) =
- (2z)-1 [Я(И + 1/2, -z) e« + (-1)» Д(л + 1/2, z) е-*].
10.2.11. R(n + 1/2, z) -
= 1 + fr+Ji' (2z)J + t" + 2)' (2z)- + ... =
11 Г(л) 21Г(л — 1)
¦ |(n + 1/2, k) (2г)-1 (n = 0, 1, 2,...)
(см. 10.1.9). 262
10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
10.2.12. VWPS Лн-ілМ = S.W Sh г + г-м(г) ch г,
Яо(г> - г-1, ^iW = -Zj, ї«-і(г) - g»+i(z) - (2л + 1) zJg,(z)
(в ¦= 0, ±1, ±2, ...).
V«/(2Z)/±(,+ V2,(Z), И - 0, I, 2 sh z
10.2.13. V"/(2Z)/I,!(Z) =
ch z
VW(2z) Wz) = - і— + -
2 Z
V1WpB Ляй - ^ + -іJ sh z- ~ ch z
10.2.14. VW(2z)/-,„(z) = —.
Z
2 2
VW(2F) /-вл(2) = - 4 sh 2 +
Модифицированные сферические функции Весселя третьего рода
10.2.15. VW(S) г,м(г) = і тгМ»+1>«<<%<1>(ге'т,'г)
2
(—71 < arg z ^ л/2), VWPSA1iw2(Z)- - -j тп'е-і««>»"»/,і,'(ге-'І,'!)
(л/2 < arg z ^ 7t),
VWPS A„i«(z) - 2 Jn + і, fcj (2z)--K
10.2.16. AihwM = X-™(z) Oi = O, 1, 2,...).
Функции VWPS A.^fz), n = 0, 1, 2
10.2.17. VWPS JCi,.W - WMe-', VWpF) A,„(z) - [я/(2г)] + z-1), VwpS Ajjs(Z) - W(2z)] е-г(1 + 3z-1 + 3z-').
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА Рекуррентные соотношения
A(Z): VWPSWsM,
(-l)»«Vi№jA-„+1,=(z) (« = 0, ±1, ±2,...)
10.2.18. /„-,(z) -/W1(z) = (2л + l)z-'/„(z).
10.2.19. n/»-!« + (л + I)/„+,(z) =« (2л + 1) — Uz).
az
10.2.20. ^ii Mz) + -f Mz) = /M(z)
z dz
(CM. 10.2.22).
10.2.21. - -Mz)+ -~/,(z) =/.+i(z)
z az
(CM.10.2.23).
Производные /,(z): VSrtH/,+1„(z), (-і)»+1 VwpSA.n,^) (n - 0, ±1, ±2, ...)
10.2.22. j-j" [z»+V„(z)] = z»-™+V»_»(z).
10.2.23. Ji -^JmIZ-Vs(Z)I - Z-"-"*/,+,^)
(m - 1, 2, 3,
Рис. 10.4. VWP-v) /eu,s(x), VWPx) Alll mOt); n = 0(1)3.
г
Рис. 10.5. Vwp*) /вдй,
VW(2*j A„+I„(x); * = 10. 10.3. ФУНКЦИИ РИККАТИ — БЕССЕЛЯ
263
Формулы типа Релея
10.2.24. Innn(Z) = [- AY AF. ¦
V z dz ) z
10.2.25. VWPi) I-n-i,s(z) - z- f- — Г - -
У z dz J г
(п - 0, 1, 2, ...). Формулы ДЛЯ In+lll{z) — 1--Л !/*(-)
10.2.26. №)[в«/г(г) -/V-irt(z)]
1 . (2/1 - Jfc)I (2л -2А)! = — >4- IJltl -—-- (2z)M-5"
(п - 0, 1, 2,...).
10.2.27. [к/(2г)1 [/,a«(z) - /!i,rfz)] = -Zj.
10.2.28. [,=/(2-)] [/Jrt(Z) - /ї,„(г)] = zJ - zJ.
10.2.29. [n/(2z)l Uld') - IWiII = -r* + 3z 1 - 9z-'.
Производящие функции
10.2J0. і- sh = V [Vi/(2i")/_»+ln(z)]
Z V
(2|/| < I z|).
10.231.
- Ch Vz" + 2iz/ = V^ [V«/(2z) W4 z V
Производные
Производные относительно порядка
2ях
[Ei(2*) <г* - Ех(-2х) е*].
[i>L
- [И(2х) е-1 + EA-lx) e*l.
10.2.34. Г— S-V(i')l = =F V"/(2*) Ei(-2*) Є.
