Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
10.4.121. у0(х) = fii^iV174 і ^im х
І } 2
X ехр Х(— ^aJn+ OCX-1)] =
1 „-v^-л/в |l_l^J~1Mexp Il Х(- ^JwiJ [1 + 0(Х-1)].
Пусть теперь в 10-4.121 X фиксировано и х 0. Тогда
10.4.122. ;>„(*) ~ -K-1I2X-1ZeX1''2 xJ^A.
С другой стороны, J0Ct) — решение уравнения 10.4.117 и, следовательно, может быть записано в виде
10.4.123. у0(х) - ^Wx(Xx) + C2Fx(XJC)]. Учитывая 9.1.7, для фиксированного X и лг-^0 имеем
(Н
щ + 1)
Yl(Ix) ~ ->— ctg Xn - і--'— cosec Air.
Щ + 1) Г(1 - X)
Таким образом, полагая л--»-0 в 10.4.123 и сравнивая полученное соотношение с 10.4.122, находим, что C2 = O и
JxOj:) -
10.4.124. у,(х)~ — ж-'Ч^-Ч" е>-Т(Х + 1 )x»V>(Xx). 2
Из 10.4.120 следует, что при I X | —* оо представление
10.4.125. Jx(Ix) =
їх2 — 1 "1-1- -
Xl+i/«e-x I--J-J AiC-XMQ [1 + 0(?"1)]
ДА + 1)
равномерно по х на интервале 0 < х < со. ПРИМЕРЫ
Сферические функции Бессела
Чтобы вычислить jn(x), ^п(х), п = 0, 1, 2, для значений х, выходящих за пределы табл. 10.1, используем формулы 10.1.11, 10.1.12. Значения тригонометрических функций возьмем из табл. 4.6. — 4.8.
Пример 1. Вычислить J1(X) дляX = 11.425.Согласно формуле 10.1.11
sin X cos X
XB ~ X
Используя табл. 4.6 и 4.8, получим
Л(*) =
Л(11-425) - -
0.90920 500
0.41634 873 11.425
(11.425)2 -0.00696 54535 - 0.03644 1902
-0.04340 7356.
Чтобы вычислить jn(x), H < я < 20, для значения х, входящего в область изменения аргумента табл. 10.3,
сначала непосредственно из табл. 10.3 или с помощью линейной интерполяции получим значения j2l(x), jzo(x). Затем используем их в качестве начальных значений для рекуррентного процесса по формуле 10.1.19 при убывающих п.
Миллером предложена другая процедура [9.201, которая часто дает лучшую точность и которую можно применить для вычислений Jn(x) и тогда, когда оба параметра лих выходят за пределы табл. 10.1.
Допустим, что Fn+i =0, Fjf = 1 для некоторого индекса Ar, большего, чем требуемое значение п.
Используем рекуррентную формулу 10.1.19 в направлении убывания Ar. Получим последовательность F^1,... ..., Fu. Если N было выбрано достаточно большим, каждый член этой последовательности вплоть до Fa пропорционален (с определенной точностью) соответствующему члену в последовательности Jn-i(x), ..., j0(x) истинных значений. Множитель пропорциональности р может быть получен сравнением, скажем, F0 с истинным значением j0(x), вычислеппым отдельно. Члены последователь- ПРИМЕРЫ
271
ности pF, ...,PaFn имеют в таком случае столько точных значащих цифр, сколько их имеется в предположительных значениях F. Если полученная точность неудовлетворительна, процесс может быть начат заново с большего значения N.
Пример 2. Вычислить Jlb(X) для .X — 24.6.
Интерполяция в табл. 10.3 дает для х = 24.6 x~ile'ilbehr(x) = (-28)3.934616, х-*ое**>*У20(х) = (—27)9.48683, следовательно,
уп(24.6) = 0.05604 29, Ло(24.6) ^ 0.03896 98.
В результате рекуррентного процесса по формуле 10.1.19 имеем
у1в(24.6) = 0.00890 67660 [0.00890 70], у1в(24.6) = -0.02484 93173 [-0.02485 90], у17(24.6) « -0.04628 17554 [-0.04628 16], Лв(24.б) - -0.04099 87086 [-0.04099 88], А»(24,б) = -0.00871 65! 22 [-0.00871 67].
Для сравнения точные значения показаны в квадратных скобках.
Чтобы вычислить JxrXx) для X — 24.6 способом Миллера, возьмем, например, JV = 39 и допустим, что Fi0 = О, Tr30 = 1. Исиользуя формулу 10.1.19 в направлении убывания N: Fa-г - [(ZAr -І- ])/*] Fn - Fn+i, N = 39, 38,..., 1, О, получим последовательность .Fg8, F31,..., F1, F0. Вычислим значение 7,,(24.6) = (sin 24.6) / 24 ^= —0.02064 620296 и получим множитель пропорциональности
р = _/и(24.6)/ F0 -= О.ООООО 03839 17642.
Значение рFli равно 7^(24,6) с точностью до 8D. Последняя часть вычислений показана в следующей таблице, в которой для сравнения даны также точные значения.
JV Гц P Pft М24.6)
15 -0.00871 67391 -0.00871 674
14 + 78178.88236 + 0.03001 42522 + 0.03001 425
13 + 114866.80811 + 0.04409 93941 + 0.04409 939
12 + 47894.44353 + 0.01838 75218 + 0.01838 752
11 — 66193.59317 -0.02541 28882 -0.02541 289
10 — 109782.76234 -0.04214 75392 -0.04214 754
9 — 27523.39903 -0.01056 67185 -0.01056 672
8 + 88524.85252 — 0.03398 62526 H 0.03398 625
7 + 88699.11017 -гО.03405 31532 + 0.03405 315
6 — 34440.02929 -0.01321 21348 -0.01322 213
5 — 106899.12565 -0.04104 04602 -0.04104 046
4 — 13360.39272 -0.00512 92905 -0.00512 929
3 H02011.17704 I 0.03916 38905 + 0.03916 389
2 + 42387.96341 ¦+ 0.01627 34870 ¦¦ 0.01627 349
1 — 93395.73728 — 0.03585 62712 -0.03585 627
0 53777.68747 -0.02064 62030 -0.02064 620
Заметим, что мормализация последовательности Fy, Fx-i, —у Fa может быть также долучена применением
формулы 10.1.50. Вычисляя сумму а = ? (2к + на-
0
ходим P=Ii^Ja. Для рассмотренного выше примера, таким образом, получаем P=* XlJa = 0.0000 03839177.
Модифицированные сферические функции Бесселя
Чтобы вычислить
JW(2x) /atmOc), JkI(Ix) ЛГя+1/а(;с), и = 0, 1, 2, ...,
для значений дг, входящих в область изменения аргумента табл. 10.8, используем формулы 10.2.13, 10.2.14 и 10.2.4. Значения гиперболических и экспоненциальных функций возьмем из табл. 4.4 и 4.15. Втом случае, когда значения
