Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Задана асимптотика ограниченного вещественного решения уравнения (3.7.32) при найти асимптотику
этого же решения при г-*- —ОО.
Решения этой задачи было бы вполне достаточно, чтобы связать две области слабой нелинейности решения уравнения (3.7.35).
Совершенно очевидно, что задача о связи асимптотик является глобальной и не может быть решена с помощью локального анализа уравнения (3.7.32). Напомним (разд. 1.7), что для почти всех гладких ,быстроубывающих начальных данных для уравнения мКдФ (3.7.9) асимптотика решения (/-*-оо) представлена тремя областями с различным качественным поведением:
(і) Для х tm решение экспоненциально убывает (по х).
(II) Для IJCI = O(Im) решение является автомодельным и удовлетворяет уравнению (3.7.32).
(III) При — х >> /1/3 решение осциллирует.
Сигур и Абловиц [457] нашли решение задачи о связи асимптотик для уравнения (3.7.32) с помощью переходов к пределам в областях (і) и (iii) асимптотического решения уравнения мКдФ. Результаты можно сформулировать следующим образом.
Имеется однопараметрическое (с параметром г) семейство ограниченных вещественных решений уравнения (3.7.32). Эти 3.7. Трансценденты Пенлеве
281
решения экспоненциально убывают (при увеличении z) при (2aw2 + z) > 0 и осциллируют при (2ow2 + г) <0. Типичное решение показано на рис. 3.2. При z-*--|-oo все эти решения имеют асимптотику (3.7.33) с произвольным вещественным г при O= — 1 и — 1 < г < 1 при о = +1. Без потери общности можно
0.8 Г 0.6 0.4 0.2 о
-о.г
-0,4
-0,6
-25 -20 -15 -10 -5 0 г
J-1
5 10
Рис. 3.2. Характерный вид решения уравнения (3.7.32) с граничными условиями (3.7.33). Здесь а = +1, г = 0. Ha рисунке показана разделяющая парабола 2w2 + 2 = 0.
считать 0. При г-J—оо эти решения имеют формальное асимптотическое разложение
w(z)~d (- z)~1/4 sin 9 + О (I г Г7/4),
(3.7.36) где
е.
¦(- Zf3-^od2In (-2) + 6 + 0(| г Г3'2).
Постоянные d(^0) и б зависят от г, о по следующему закону: (3.7.37)
d2 = -— In (1 -or2),
я v '
0==^_aarg{r(l J-S0Td* in 2,
их графики приведены на рис. 3.3. Других ограниченных вещественных решений уравнение (3.7.32) не имеет, 282
3. Различные перспективы
Рассмотрим теперь общий случай уравнения Рц:
d2w
dz2
¦ zw + 2 ws + а.
Эро [35], Боити и Пзмпинели [72] воспользовались преобразованием Бэклунда для уравнения КдФ в автомодельном виде и
б = +1
юо г
Рис. 3.3. Асимптотические (при г-»-— оо) амплитуды (d) и фазы (0) для уравнения Pи как функции начальной амплитуды (см. (3.7.37)).
вывели рекуррентное соотношение между решениями уравнения Pib
(3.7.38) Д (г, а + 1) - - »(г, а) - 2m2 (g> а) 2+а ^ ^ д) .
Это соотношение было ранее получено из других соображений в работе [337]. Кроме того, уравнение Pn допускает преобразование симметрии
(3.7.39) w (г, а) — w (г, — а).
Если воспользоваться (3.7.38), (3.7.39) и любым точным решением уравнения Рц, то можно построить бесконечную серию решений w(z, а ± п), п = 0, 1,2.... Начав с тривиального решения (w (z, 0) = 0), Эро построил таким способом все рациональные решения уравнения КдФ [35] (см. разд. 3.4).
Однопараметрическое семейство ограниченных вещественных решений уравнения Рц при а = 0 порождает однопараметрическое семейство вещественных решений уравнения Рц при любом целом ос. Все эти решения ограничены при г -»-+оо, но, как мы покажем, среди них нет решений, ограниченных на всей вещественной оси г. Иначе говоря, для целых значений а уравнение Рц не имеет никаких ограниченных вещественных решений.
Начнем со случая а = 0, и пусть 0 ^ г < 1; в этом случае ограниченное вещественное решение качественно ведет себя так же, как решение, показанное на рис. 3.2. Из рисунка видно, что знаменатель в формуле (3.7.38) имеет отрицательный знак в точке пересечения графика решения с параболой (2w2 + z) = О, 3.7. Трансценденты Пенлеве
283
а при г->+оо знак знаменателя положительный. Таким образом, знаменатель обращается в нуль в некоторой промежуточной точке. Эта точка будет полюсом решения w (г, 1). (Аналогично рассматривается случай г < 0.) Таким образом, любое вещественное решение уравнения Рц при а = 1, ограниченное при 2 —> +сю, имеет по крайней мере один полюс в некоторой конечной точке 2.
Пусть а— любое положительное целое число. Если w(z, а) имеет полюс, то мы покажем, что его также имеет решение w(z, а + 1), построенное по формуле (3.7.38). Пусть самый правый полюс функции w(z, а) расположен в точке z0. В окрестности Z0 разложение решения ш(г, а) в ряд Лорана имеет либо вид
(3.7.40а) w (z, а) = ш+ ~ (г - г0Г' - -f- (z - z0) --jiIr1(Z-^o)2+ ....
либо вид
(3.7.40b) w (г, а) = ~ - (г - Z0)-1 + (г - Z0) -г -J^L(Z-Z0)*+ ... .
В этих случаях знаменатель в (3.7.38) принимает вид
(3.7.41а) 2w\ + z + 2dz(w+)--(2а+ l)(z-z0)
или
(3.7.4lb) 2wl + z+ 2дг (w_) ~ 4 (z - z0)~2.
Для w~(z, а) первый член в правой части формулы (3.7.38) имеет полюс в точке 2 = 2о, а второй член в этой точке равен нулю. Таким образом, точка Zo является полюсом решения w-(z, а+1).
