Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
P1 =Qw2+ z,
Pn -^f- = zw + 2 w2 + а,
d2w 1 / dw \2 1 dw . 1 , о і Qs , ч і O 270
3. Различные перспективы
W
р d2w_ ( _1__ 1 W dw у__1 dw .
dz2 ~ X 2w + w - 1 J W2 ) zdz
+ OLzJ^faa, +J-I + a«>(» + i)
' z' v. w \ z w — 1
гі2ш _ 1 $ 1 . 1 . 1 \ f dw у _ Hvi dz2 ~~ 2 t да + да - 1 + w - г J V dz J
(.г г—1 ю - г J (/г , а> (да — 1) (w — г) f , _?z_ , у (г — 1) , бг (г — 1) 1 г2 (г-I)2 I W2 (да-I)2 ^ (w-z)2 ('
Пенлеве и Гамбье показали, что эти уравнения нельзя свести к более простым ОДУ. Поэтому они определили новые спецфункции— трансценденты Пенлеве.
Вопрос, какие из ОДУ обладают свойством Пенлеве, можно поставить для уравнений любого порядка, но исчерпывающие результаты получены только для уравнений первого и второго порядка. (Бюрэ [80] дал частичную классификацию уравнений третьего порядка.)
3.7. Ь. Связь с МОЗР. Как обыкновенные дифференциальные уравнения Р-типа связаны с интегрируемыми уравнениями в частных производных? Напомним (разд. 3.6), что нелинейное уравнение в частных производных считается решаемым методом обратной задачи, если К(х,х) (или (d/dx)K(x,x)) является его решением, причем К(х, х) определяется из линейного интегрального уравнения типа Гельфанда — Левитана — Марченко
оо
(3.7.5) К (х, у) = F (х, у) + J К (х, г) N (х; г, у) dz, у > х,
x
где N известным образом связано с F. Здесь мы опустили зависимость К от остальных переменных (т. е. t, иногда у и т. д.)' для того, чтобы подчеркнуть выделенную роль переменной x в (3.7.5). Абловиц, Рамани и Сигур [22] выдвинули следующую гипотезу:
Гипотеза о свойстве Пенлеве. Нелинейное уравнение в частных производных можно решить методом обратной задачи рассеяния только в том случае, когда любое нелинейное ОДУ, полученное из него в результате точной редукции, имеет Р-тип, возможно, после замены переменных. (См. также [272] и упр. 13.)
Допустим на некоторое время справедливость этой гипотезы и опишем, как ею пользоваться. 3.7. Трансценденты Пенлеве
271
(і) Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных, тогда следует найти точную редукцию в ОДУ. Простейшие редукции возможны, если уравнение в частных производных допускает решения типа бегущей волны или автомодельные решения, но это не единственные возможности. Часто число таких простых редукций очевидно из формы уравнения.
(ІІ) Воспользовавшись приведенным ниже анализом критических точек, следует определить, имеет ли ОДУ Р-тип. Если это ОДУ не является уравнением Р-типа, то в этом виде оно не может быть проинтегрировано с помощью МОЗР.
(iii) Иногда с помощью замены переменных удается преобразовать ОДУ, и оно становится Р-типа; довольно часто на эту замену переменных наталкивают вычисления, связанные с анализом критических точек. Если существует такая замена, то исходное уравнение является кандидатом для применения к нему МОЗР. Примером может служить уравнение sin-Гордон, для которого необходимо такое преобразование. Напомним (разд. 1.2), что МОЗР действительно позволяет решить систему уравнений (1.2.17), которая затем преобразуется к уравнению sin-Гордон (см. также упр. 6).
(iv) Если ОДУ имеет Р-тип, то можно поискать и проверить другие редукции. Но поскольку нет никакого систематического способа поиска всех точных редукций, то эти проверки лишь наводят на мысль, что к данному уравнению в частных производных применим МОЗР. Если одна или две нетривиальные редукции рассматриваемого уравнения в частных производных приводят к ОДУ Р-типа, то, вооружившись надеждой, можно пытаться поискать преобразование Бэклунда или соответствующую задачу рассеяния.
(v) Обратно, если известно, что к уравнению в частных производных применим МОЗР, то любая его точная редукция в естественных переменных соответствующего линейного интегрального уравнения приводит к ОДУ-типа.
Вот несколько примеров. Захаров [527] показал, что уравнение Буссинеска
интегрируется с помощью МОЗР. Точную редукцию этого уравнения можно получить, ограничившись рассмотрением решений типа бегущей волны
(3.7.6)
и (X, () = w (х — ct) = w (z)\
при этом w(z) удовлетворяет уравнению (3,7.7) (1 - с2) w" + (у)" + j ш"" = О, 272 3. Различные перспективы
которое легко дважды проинтегрировать. В зависимости от выбора постоянных интегрирования после изменения масштабов получим две возможности:
(3.7.8) а/' + 2да2 + а = 0 или w" + 2да2 + г=0.
Первый случай приводит к эллиптическим функциям, все сингулярности которых являются только полюсами. Вторая возможность совпадает с уравнением Pi. В обоих случаях ОДУ обладает свойством Пенлеве.
В качестве другого примера возьмем уравнение мКдФ
(3.7.9) ut — 6 и2их + иххх = О,
к которому применим МОЗР. Точную редукцию можно получить, ограничившись автомодельными решениями вида
I л_ w (z) _ X
=> w"' - 6w2w - (zw)' = 0.
После однократного интегрирования получим уравнение Р-типа P11 w" = 2w3 + zw -f а-
Уравнение sin-Гордон
(3.7.10) =
можно интегрировать (после преобразования) с помощью МОЗР. Оно имеет автомодельное решение
