Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
275
ный в [238]. Второй, близкий к методу Ковалевской, описан Абловицем, Рамани и Сигуром [23]; мы проиллюстрируем его ниже. Следует отметить, что при использовании обоих методов можно потерять существенно особые точки; для них требуется отдельный анализ.
Пример 1. Рассмотрим семейство ОДУ
(3.7.17) w" = zmw + 2ш3.
(Если т = 0, то уравнение (3.7.17) интегрируется в эллиптических функциях. Если т= 1, то это Pu. При т ф 0, 1 мы обнаружим подвижные критические точки.) В методе анализа имеется три основных эгапа. На первом следует определить поведение главной части решения в окрестности подвижной особенности в точке Z0. Поэтому мы предположим, что при Z ¦—>¦ Zo
w(z; го) - (г _аго)Р •
В этом случае главными членами в (3.7.17) являются первый и последний, и р= 1, а2 = 1. Если выбрать а = 1, то при Z —>- Zo получим
(3.7.18) (2- Zo)-1 + О (|z-Z0 г')-
Если бы р не было целым, то мы получили бы (подвижную) алгебраическую точку ветвления, и уравнение не относилось бы к Р-типу. (Но даже в этом случае мы рекомендуем продолжить вычисления, так как они могут подсказать преобразование, приводящее уравнение к Р-типу.) Если имеется два или более корней р, то для каждого из них необходим отдельный анализ.
Так как уравнение (3.7.17) имеет второй порядок, то его общее решение зависит от двух постоянных интегрирования. Одна из них есть Zo. Следует продолжить разложение решения w
(3.7.18) в ряд, пока не появится другая постоянная интегрирования. Второй этап — это определение степени (z — z0), начиная с которой может появиться вторая постоянная интегрирования. Чтобы это сделать, положим g = г — Zo и подставим
(3.7.19) ?r1+r
в главные части уравнения (3.7.17). В ведущем порядке по ? получим соотношение
?[(r- 1) (Г — 2) — 6] Г"3~0,
представляющее собой алгебраическое уравнение для г. Один корень этого уравнения всегда равен —1, что соответствует произволу в выборе Z0. В данном случае второй корень — это г = 4 (если бы второй корень не оказался целым вещественным чис- 276
3. Различные перспективы
лом, то это указывало бы на наличие подвижных точек ветвления). Отсюда ясно, до каких степеней следует строить разложение решения:
(3.7.20) w (г) ~ Г' + а0 + U1I + a2f + а3|3 + ....
Мы ожидаем, что постоянные («о, «і, а2) полностью определятся, и вторая постоянная появится, когда мы дойдем до определения а3.
Последний этап — это определение коэффициентов разложения (3.7.20). Подставив его. в уравнение (3.7.17) и собрав коэффициенты при одинаковых степенях получим
—zm mzm~l
(3.7.21) до = 0, CL2 = —I—.
При О (І3) получим
(3.7.22) 0 = о . а3 = L т (т — 1) z™~2.
Имеется две возможности.
(i) Если т — 0 или 1, то (3.7.22) выполнено при любом значении постоянной аз, которая при этом становится второй постоянной интегрирования. Воспользовавшись методом Пенлеве [238, раз. 14.41], можно показать, что (3.7.20, 21) действительно представляют собой начало разложения общего решения уравнения (3.7.17) в ряд Лорана в окрестности подвижного полюса. В этом случае нет никаких подвижных критических точек алгебраического характера.
(ii) Если т ф 0 или 1, то соотношению (3.7.22) невозможно удовлетворить никаким выбором постоянной Яз. В этом случае разложение (3.7.20) следует дополнить логарифмическими членами:
(3.7.23) w (z) ~ Г1 + а0 + a,S + a2f + (а3|3 + hi9 In Ю + ....
Теперь соотношения (3.7.21) по-прежнему сохраняют свой вид, а в порядке 0(|3) постоянная Ь3 определяется по произвольной постоянной а3. Разложение (3.7.23) указывает на существование подвижной логарифмической точки ветвления Zo- Таким образом, если т Ф 0 или 1, то уравнение не относится к Р-типу (отметим, что следующие члены разложения имеют более высокие степени I И In І).
Пример 2. Нелинейное уравнение Шрёдингера в размерности л + 1 (см. разд. 4.3) — это
(3.7.24)
гФг + V2<p — 21 ф I2 ф = 0. 3.7. Трансценденты Пенлеве
277
Точная редукция к ОДУ получится, если положить
п
(3.7.25) г2 =Z xj, Ф = R (г) ехр (Ш);
1-і '
при этом
(3.7.26) R" R' = 2\R\2R + kR.
(Если к тому же мы потребуем вещественность R при вещественных г, то нелинейный член в (3.7.26) перепишется в виде 2R3\ в результате мы получим одно уравнение второго порядка, и можно проверить, не входит ли оно в список из книги [238]. Но для того, чтобы показать, как следует анализировать системы комплексных уравнений, мы рассмотрим более общий случай.) Нелинейный член в (3.7.26) не позволяет рассматривать R (г) как аналитическую функцию. Вместо уравнения (3.7.26) мы рассмотрим систему
R" + il^- R' = 2R2S + KR,
(3.7.27) Г_
S" + 5'= 2S2R + ^s-
Если X вещественно, S = R* при вещественных г, то (3.7.27) содержит (3.7.26). В любом случае (3.7.27) является системой ОДУ четвертого порядка, и мы проведем анализ особых точек ее решения.
Шаг 1. В главном порядке все алгебраические особенности решений системы (3.7.27) имеют вид
(3.7.28) R--—, S--г^—г,
v ' г — Го а (г — Г0)
где (/"о, а) — две (из четырех) произвольные постоянные интегрирования.
