Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
В древнем правиле, по существу, описана формула
а2
Наша реконструкция решения следующая. Из подобия треугольников ОгБР и ОхАЬ следует ^=^4~Т> что дает ^Р=Р1& ^ ~1\ Но из подобия 02СВ и 02Т(} вытекает
к _ й2 + ОгБ
Ч х + йг + БР » подставляя сюда ?Р, получим
(х+сЦ Н+О^ (а1-1)=а2 (йа+Оі^), что дает значение
1 («1 — I) — <*2 '
277
С другой стороны, значение ОхБ можно выразить из пропорции х11=01РЮ1Ь (в силу подобия треугольников ОгР(^ и ОхЬВ) и из пропорции 01Р10-1Ь=0Л811% (в силу подобия треугольников 0Х5Р и ОгАЬ). Таким образом,
откуда и получается формула для искомой величины, эквивалентная предложенному правилом алгоритму. Комментатор Ли Чунь-фэн подсчитал, что действительно #=702 бу = 2 ли
В трактате Сунь-цзы встречается всего лишь одна задача этого типа: задача 25 третьей книги трактата. В ней измеряются тени от вертикальных столбов ВС=а, ВхСх=ах, высота одного из них известна, AxBx=hx, высоту другого требуется найти: x=ah1/a1. В задаче рассмотрена пара подобных и подобно расположенных треугольников с прямыми углами ABC и А1В1С1 (рис. 58). Напомним, что Сунь-цзы специально интересовался операциями с именованными десятичными дробями, которым он и посвятил свой трактат. И здесь для него, по-видимому, была важна не сама задача, но вычисления, которые следует производить при ее решении. г~
В отличие от Сунь-цзы Чжан Цю-цзянь поместил в свой трактат задачи для всех трех видов измерительных инструментов (веревки, шеста, угольника). Это еще раз подтверждает нашу реконструкцию относительно древней классификации задач на измерение расстояний до недоступных предметов. Классификация первоначально была основана на внешних признаках: какие инструменты применялись. Однако довольно скоро древние поняли, что, как и в других случаях, основным является метод решения. Здесь рассматриваются подобные треугольники, сначала прямоугольные, а затем произвольные. И если обращать внимание на существо метода, то внешние признаки станут несущественными .
xh (ах—l—a2) = la2d2—lh (x+dj),
102 бу.
14. Задачи на измерение расстояний в других трактатах «Десятикнижъя»
Рис. 58
Рис. 59
278
В трактате Чжан Цю-цзяня три измерительных задачи. Одна из них — задача 12 первой книги трактата. В ней определяется неизвестная ширина реки х наблюдателем, которому известна высота берега к± и который отошел от него на некоторое расстояние а. Высота уровня зрения человека Л. Искомая х= =к1а/}1. В задачах рассматривается пара подобных и подобно расположенных треугольников (рис. 59).
В задаче 14 этой же книги трактата Чжан Цю-цзяня следует определить уже две величины: высоту дерева х и расстояние у от наблюдателя до дерева с помощью измерительного шеста высоты 1гь. Для нахождения! неизвестных наблюдатель производит два наблюдения, как в задачах Лю Хуэя. Стоя на некотором
р Р_н
Рис. 61 [ I I а Л
расстоянии йх от шеста, он видит вершину шеста совпадающей с основанием дерева (шест ниже человека); лежа наблюдает с земли вершину шеста совпадающей с вершиной дерева (рис. 60). Решение этой задачи основано на подобии прямоугольных треугольников А(^В и ОгАК, АРЬ и 02АВ. Из первой пары треуголь^ ников находится расстояние от шеста до дерева по формуле: у=к(11/(к1—К). Из второй пары треугольников находится высота дерева
Задачи, аналогичные задаче 15 первой книги трактата Чжан Цю-цзяня, которую мы теперь рассмотрим, много раз встречаются у Цинь Цзю-шао. Такая задача есть и у Лю Хуэя. В этой задаче требуется найти размеры стены «города» (рис. 61) ММ=хг, Ь^=х2, находясь на некотором расстоянии ЫС—у от нее, также подлежащем определению, при помощи четырех измерительных столбиков О, А, Е, С, расставленных, как в задаче 22 «Математики в девяти книгах» (см. выше), по углам квадрата с заданной стороной а. Наблюдатель находится
279
в точке О и получает при наблюдении объекта некоторые проекции, фиксируемые на сторонах квадрата. При решении данной задачи также требуется рассмотреть пары подобных прямоугольных треугольников. Согласно древнему правилу сначала находится у. Для этого рассматриваются прямоугольные треугольники ОС/У и В АО: у = а ' а . Затем находится отрезок хх. Для
этого рассматривают треугольники ОСМ и ОАО: х±=а-^-—у.
Наконец, третья искомая, отрезок х2, находится по правилу,
которое можно выразить формулой х2~а^у 7~ ^ в принятых
обозначениях, где у—13 = КМ и LN/OC=KN/KC, пропорция, полученная из подобия треугольников ЬИК и ОСК.
15. «Измерения и наблюдения» у Цинъ Цзю-шао
В свитках 7—8 (четвертая книга) «Класс задач на измерения и наблюдения» (Це ван лэй) трактата Цинь Цзю-шао содержатся девять задач, как в трактате Лю Хуэя. Однако они отличаются от древних тем, что они болеегГразнообразны и служат не только тому, чтобы показать метод «чжун-ча», рассматривавшийся Лю Хуэем. У Цинь Цзю-шао имеются как простые (см., например, задачу 4 свитка 8), так и сложные задачи, но почти все они включают в свои условия весьма реальное описание измерений на местности. Древнюю терминологию средневековый автор применял по мере надобности. Во всех задачах, не связанных с уравнениями высших степеней, с нелинейными уравнениями, в правилах рекомендуется применять методы «гоу-гу» и «чжун-ча». Начальная фраза во всех этих правилах: «Ищи это при помощи гоу-гу, введи чжун-ча».
