Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
относительно меры емкости ху было высечено следующее: «Гармонично прекрасная мера ху: квадрат [со стороной в один] чи, а около него описан круг, зазор сбоку Эли 5 хао, площадь 162 цуня, глубина [один] чи, объем 1620 [куб] цуня, емкость 10 доу».
264
Напомним, что линейные меры имели соотношение: 1 чи=10 цу-ням=100 фэням=1000 .ш=10000 хао. Применяемая Лю Ци терминология: «площадь» (мо, как у Лю Хуэя), «объем» (цзи, в «Математике в девяти книгах» термин цзи употреблялся и для объемов и для площадей); «сбоку», «бок», иногда «сторона» — бань и очень важный для данного текста термин «зазор». На основании исследований сосудов древних мер можно восстановить примерный ход вычислений, который, по-видимому, проводил Лю Ци. Смысл термина «зазор» таков: «это то, что является внешним при отсечении от диаметра круга косого диаметра внутреннего квадрата». В наших обозначениях это а (рис. 46). Эта величина а=0,0095, если за единицу, т. е. сторону квадрата, принять 1 чи. Тогда диаметр круга
Дгу = й + 2а = у/2 +2 .0,0095 =
= \/2 +0,019 да 1,4332.
Известна площадь этого круга, равная 1,62 кв. чи. Тогда
Я2 (1,4332)2 4 4
5 ^ <к__
1,62.
Отсюда 7г=3,1546645. . .=3,1547. Ри^ ^
Чжан Хэн пользовался двумя значениями числа тт. Одно из них мы находим в календаре «Кай юань цзянь цзин», оно равно 92/29да 3,1724. . . Это значение Чжан Хэн применил для сравнения окружности неба с «шириной» Земли. Другое значение, приписываемое Чжан Хэну, имеется в комментариях к задачам 23— 24 книги IV «Математики в девяти книгах» (тгда\/10даЗ,1622. . .). В этих задачах по объему сферы находится ее диаметр и при этом используется значение 7г=27/8.
Для определения объема шара, по-видимому, рассматривали отношение объема шара к объему кругового цилиндра, касающегося шара, а также отношение объема этого цилиндра к объему куба, касающегося этого цилиндра, и устанавливали равенство этих отношений. Но если отношение площади квадрата, построенного на диаметре круга, т. е. квадрата, описанного около круга, к площади круга равно 4/3, то объем куба относится к объему шара, как
д
42 : З2, т. е. объем шара У = ^2)3, где /) —его диаметр. В указанных задачах определяется диаметр В — |/"^ V. Чжан Хэн исправил это приближенное значение объема шара на более точное:
15'
18 Э. И. Березкина 265
отсюда он получил, что
4г2:тгг2 = \/8 т. е. тг = \Д0. Этим значением пользовались Брахмагупта (VI в.) и ал-Хорезми (IX в.).
10. Метод Лю Хуэя и его понятие предела
Лю Хуэй в своих комментариях к «Математике в девяти книгах», так же как Архимед в первом предложении «Измерения круга», дает формулу площади круга как половину произведения окружности на радиус, но при этом Лю Хуэй говорит не о треугольнике, а о прямоугольнике, являющемся эталоном измерения площадей. У Архимеда предложение сформулировано следующим образом: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника» [3, с. 266]. Во втором предложении Архимеда «Круг к квадрату на диаметре относится, как 11 к 14» [3, с. 267] дается число 7с=22/7. В третьем предложении Архимеда «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых» [3, с. 267] даются более точные неравенства значения ти:
3 10/71 < ти <3 1/7,
что соответствует неравенствам в десятичных дробях:
3,14084 < тг < 3,14286,
т. е. приближенно тс=3,14. Архимед показал это предложение при помощи вписанных и описанных правильных гг-угольников (гг=6, 12, 24, 48, 96), для которых подсчитывает отношения радиуса к периметру, дающие последовательные приближения 1/ти.
При бесконечном увеличении числа сторон периметры вписанных и описанных многоугольников приближаются к длине окружности. Последовательность периметров описанных многоугольников дает верхний предел отношения, а вписанных — нижний. Лю Хуэй рассматривает последовательность вписанных тг-уголь-ников при п=6, 12, 24, 48, 96 и 192. Но для верхней оценки он не прибегает к описанным многоугольникам, а пользуется некоторой многоступенчатой фигурой.
После задач 31—32 книги I «Измерение полей» в «Математике в девяти книгах» следует правило вычисления площади круга в четырех вариантах, которые можно выразить формулами
^— УТ> ° — "4"» °^~» °—12"'
где 5 — площадь круга, С — его «обвод» (чжоу), В — диаметр круга. Ясно, что здесь принимается тс=3. Для древних это были разные правила. Первое из них имело вид: «Умножь половину обвода на половину диаметра, получишь площадь в бу»; имелась
266
в виду площадь поля в виде круга. Именно к этому правилу написан основной комментарий Лю Хуэя, содержащий его вычисления числа 7г. Лю Хуэй сразу же замечает, что первая формула для площади круга, по существу, не что иное, как равенство площади круга площади прямоугольника с «длиной», равной полокружности, и «шириной», равной радиусу.
«Пусть половина обвода будет „длиной", а половина диаметра будет „шириной"; тогда „ширина" и „длина", умноженные друг на друга, будут „площадь" в бу», — пишет Лю Хуэй. Затем он поясняет, что при 7г=3 фактически за площадь круга принимается площадь правильного виисанного в круг шестиугольника: «Предположим, диаметр круга 2 чи; [тогда] сторона вписанного в круг 6-угольника и половина диаметра круга численно равны. Соответственно коэффициент для диаметра 1, а коэффициент для внешнего обвода 3». Здесь сторону многоугольника Лю называет имянъ — «одна сторона», шестиугольник — лю гу — «6 углов», и далее он называет п-угольник п—гу, ставя каждый раз вместо п соответственное число 6, 12, 24, . . . Выражение юань чжун и («внутри круга») означает у Лю Хуэя «вписан в круг», вай чжоу («внешний обвод») применяется здесь для длины окружности, в которую вписан многоугольник. Эта терминология — новая по отношению к «Математике в девяти книгах». Для площади Лю Хуэй применяет иероглиф ми вместо цзи, применявшегося в «Математике в девяти книгах».
