Структурная геология - Ажгирей Г.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Главную ось деформации, совпадающую с направлением минимального сжимающего напряжения или максимального растягивающего на-
пряжения, назовем осью деформации А. Соответственно, главную ось деформации, совпадающую с максимальным сжимающим напряжением, назовем осью деформации С. Ось деформации В занимает промежуточное положение.
Эллипсоид напряжений
В теории упругости доказывается, что нормальное и касательное напряжение в любой наклонной площадке упруго деформированного тела может быть выражено через напряжения на координатных плоскостях:
сп = °X12 + Cy™2 + сг«3 + 2txylm + 2zxsln + 2t yzmn (1)
где zx, Qy, Q3 — нормальные напряжения, проявляющиеся по направлениям трех координатных осей (в общем случае не совпадающих с главными напряжениями); ixs, хху и Хуг—касательные напряжения, проявляющиеся по направлениям трех координатных осей (не совпадающих с главными напряжениями); I, т, п —величины, характеризующие пространственное положение рассматриваемой наклонной площадки, нормаль которой составляет углы а, р и ї с осями координат (/ = cosa; m=cos j3; п — cos у).
Уравнение (1) можно интерпретировать геометрически.
Проведем из произвольно взятой точки О вектор г в направлении, параллельном нормали т. п), и такой длины, чтобы квадрат его был обратно пропорционален-нормальному напряжению (Jn, проявляющемуся на рассматриваемой площадке, т. е.
г* = — =* jfi + у* + гР,
где С — некоторая постоянная.
Таких векторов из данной точки можно провести бесконечное множество, соответственно бесконечному множеству площадок, которые пересекаются в данной точке. Геометрическое место концов таких векторов дает нам некоторую поверхность, уравнение которое мы получим из (1), выразив косинусы нормали (/, т, п) через координаты концов вектора г и его длину:
/ — — т = — п— — ~ Г ' Г ' ~ г '
Подставив в (1) будем иметь:
__С _ Х% у2 z% \су Xy XZ у Z
~п — — ~х р$ -Г -рі І- аг "Г l^xy -рг ~Т zxxz р% \ *%yz ~р N
ИЛИ
ах*2 + °уУ2 + + ^хуХУ + 2?*** + 2*угУ2 = С-
Мы получили уравнение поверхности второго порядка. Эта поверхность не содержит бесконечно удаленных точек, следовательно, она является эллипсоидом.
Поворотом координатных осей его можно привести к главным осям; тогда члены, содержащие произведения координат, исчезнут, а вместо коэффициентов Qx, %у и аг
появятся новые—(її, а2 и из. Уравнение поверхности эллипсоида примет вид:
<Ч** + ЧУ2 + <*8? = С = гЪп, (2>
отсюда
Gn = 0і/2 + с2гаЗ +с3п2. (3)
Главные оси поверхности (2) параллельны направлениям главных напряжений. Они являются нормалями к площадкам, на которых появляются главные нормальные напряжения ©і, а2 и ст3.
Тангенциальные напряжения для главных площадок, как видно из (3), равны нулям (Кузнецов В. Д., 1941, стр. 28, 29).
Аналогично может быть построен и эллипсоид деформаций.
Анализ напряженного состояния при помощи эллипсоида напряжений в практике структурной геологии не может иметь универсального применения, потому что деформации горных пород представлены упруго-пластическим видом.
А. А. Ильюшиным (1948) установлены основные закономерности малой упруго-пластической деформации. Напряжения в этом случае являются определенной для
данного вещества довольно сложной функцией деформаций, в то время как гари упругих деформациях напряжения пропорциональны деформациям.
Следовательно, для упруго-пластических деформаций, решительно преобладающих в явлениях, рассматриваемых в геологии, эллипсоиды напряжений и деформаций, если бы мы захотели их построить, были бы не гомологичны (Ильюшин, 1948, стр. 7).
Положение плоскостей максимальных скалывающих напряжений
Рассматривая линейное и плоское напряженное состояние, мы установили, что наибольшие скалывающие напряжения развиваются в плоскостях, составляющих угол в 45° с направлением двух взаимно перпендикулярных напряжений: oi и о2.
Соответственно, в случае объемного напряженного состояния, максимальные касательные напряжения будут проявляться в плоскостях, проходящих через главные оси деформации и составляющих с двумя другими главными направлениями углы в 45°:
Ч— 2 ' L-3— 2 ' "3—' 2 '
Если Oi—максимальное, O2—среднее, а сз—минимальное нормальное напряжение, то, как можно видеть из вышеприведенных равенств, наибольшее из всех касательных напряжений равно полуразности максимального и минимального главных нормальных напряжений и проявляется в плоскости, проходящей через среднюю ось деформации В, т. е.
_ _ _ 0I — J3
max — k2 — 2
Этот вывод важен для геологов, так как объясняет, почему пересечение двух сопряженных плоскостей скалывания чаще всего совпадает с главной осью деформации В. Однако надо помнить, что в некоторых случаях сопряженные плоскости скалывания образуются также в зонах осей А и С, что будет рассмотрено ниже.
Наибольшие нормальные разрывающие напряжения развиваются в сечении, перпендикулярном оси деформации А и совпадающем с плоскостью, проходящей через оси В и С, т. е. в плоскости ВС.
