Структурная геология - Ажгирей Г.Д.
Скачать (прямая ссылка):
3:
35
Направление равнодействующей сил упругости (dP) к данной площадке dF в любом выбранном нами сечении тела образует с этой площадкой в общем случае не прямой угол (рис. 11-15 а); всегда возможно разложить эту равнодействующую по правилу параллелограмма на силу, нормальную к площадке (dN) и параллельную площадке (dQ).
Тогда а — ¦Jp есть нормальное напряжение (нормальный стресс)
и x = j]j есть касательное (скалывающее напряжение, скалывающий стресс).
Этот метод дает возможность рассматривать напряженное состояние материала в любом произвольно выбранном сечении тела, подвергнутого действию внешних сил.
Линейное напряженное состояние
Определим величину нормальных и касательных напряжений в любом сечении бруска, подвергнутого сжатию линейно направленной внешней силой (рис. II-15б).
Рис. IJ-15. Действие внешних сил и напряженное состояние
материала
а) разложение сил упругости, действующих на элементарной площадке; б) линейное напряженное состояние; нормальные и скалывающие напряжения в сечении, проведенном косо по отношению к линии сжимающих усилий
Если внешняя сила, сжимающая брусок, имеет величину Р, то нормальное напряжение в сечении, перпендикулярном к действующей силе, имеющем площадь S, будет равно:
P
a = -s-
В любом другом сечении, площадью Sa, у зует с направлением действующей силы угол а, ные силы
Pn = P- cos а; Pt = P- sin а.
которого нормаль обра-нормальные и касатель-
но
Площадь выбранного сечения
Sa =
COS OL
Нормальное и скалывающее напряжения в сечении S0 будут соответственно равны:
Pn P ¦ COS а • COS а о
аа = =-^-= а • COS а.
Pt P • sin а • cos а . 1 . п
та = -с- =---= а • sin а • COS а = -к-а • sin2а.
Из полученных зависимостей следует, что:
1) наибольшее нормальное напряжение действует в сечении, перпендикулярном по отношению к сжимающей силе, поскольку cos2 а равен единице, когда а = 0°, при всех же других значениях а между 0 и 90° cos2 а меньше единицы;
2) наибольшее тангенциальное напряжение, составляющее половину а, действует в сечениях, наклоненных под углами в 45° к сжимающей силе, потому что при этом положении sin 2а = 1, при всех же других значениях а между 0 и 90° sin 2 а меньше единицы.
Именно поэтому трещины скалывания в хрупких горных породах при незначительном участии пластических деформаций образуются под углом, близким к 45° к направлению действия тектонических сил.
Очевидно, полученные формулы линейного напряженного состояния тел действительны и для случая растяжения, при котором также наибольшие скалывающие напряжения будут развиваться в сечениях, наклоненных под углом в 45° по отношению к растягивающей силе, а наибольшие нормальные напряжения в сечениях, перпендикулярных к действующей силе. В металлах, имеющих большую прочность на отрыв, при растяжении действительно образуются поверхности скольжения под углом около 45е к растягивающей силе, следы которых известны под названием линий Людерса — Чернова.
В горных породах, значительно лучше противостоящих скалыванию, чем отрыву, при растяжении образуются трещины отрыва, ориентированные перпендикулярно к действующей силе, т. е. совпадающие с сечением, в котором нормальные напряжения максимальны.
Плоское напряженное состояние
Определим величину нормальных и касательных напряжений в любом сечении бруска, подвергнутого сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В каждом косом сечении бруска будут действовать нормальные (а,) и касательные напряжения, зависящие и от Oi и от O2. Величину их мы получим, рассматривая действие <я и C2 отдельно (см. предыдущий параграф) и складывая результаты.
Полное нормальное напряжение
°а = 3I • COS2 Z1 -j- з2 cos2 а.2 = O1 COS2 Ct1 -f- а2 • COS2 (Ct1 -f- 90°). за = O1 COS2 Ct1 -j- O2 sin2 Ct1.
Так же рассуждая:
= \ К ' sin 2ах -f о2 • sin 2a2] = ¦I- Jo1 . sin 2at -f - o2 . sin 2 (Ct1 + 90°)].
~* = ^Цр^-sin 2ctv
Напряженное состояние в любом произвольно взятом сечении удобно определять, пользуясь круговой диаграммой (так называемым кругом Мора). Значения нормальных и касательных напряжений откладываем, соответственно на осях абсцисс и ординат прямоугольных координат (рис. П-16а). Условимся сжимающие напряжения считать отрицательными и откладываем их налево от нуля, растягивающие — положительными и откладываем их направо от нуля. Отметим- на оси о отрезки OA и OB, изображающие в определенном масштабе величины напряжений Oi и о2. Построим на отрезке AB, как на диаметре, круг с центром С, который и есть круг напряжений. Тогда для нахождения величины нормального ок и касательного напряжения та в сечении,
нормаль к которому составляет с наибольшим напряжением oi угол а, надо построить при точке С центральный угол 2 а, откладывая его значения от оси а против часовой стрелки. Точка D круга напряжений будет соответствовать выбранной площадке; ее координаты OK и DK соответственно равны са и тп, что доказывается следующим образом:
CD = AC = BC= — = OA-OB ^A-Zb9 Из прямоугольного треугольника KDC имеем:
