Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие рассуждения сводятся к следующему. Имея на графике кривую, характеризующую зависимость между двумя переменными, необходимо ее «выровнять». На графике в прямоугольных координатах будет получена прямая линия в случае функциональной связи между переменными и прямолинейная область в случае статистической связи. Далее, пользуясь приемами математической статистики, вычисляют средние квадрэтические отклонения Gy и ах, коэффициент корреляции г и составляют уравнение регрессии. Получив уравнение регрессии, дающее математическое выра-
жение связи между новыми переменными х' и у' (см. § 21), в случае необходимости можно перейти к форме первоначальной связи между Jt н у. Существо вышеизложенного и методику вычислений рассмотрим более детально па нескольких примерах, рассмотренных выше.
Пусть переменные связаны уравнением вида
у = ахь. (672)
Имея из экспериментов ряд значений у и х, необходимо найти постоянные а и Ь. Предположение о имеющейся связи (672) легко проверяется логарифмированием и построением графика
Ig у -lg of UIgj:. (673)
Полученное уравнение (673) свидетельствует о наличии линей" ной связи Ig х и Ig у. Можно было бы постоянные Q и Ь найти или методом избранных точек, или методом средних, или, как это сделано выше, по методу наименьших квадратов. Наиболее часто из указанных трех методов применяется метод средних как наиболее простой и сравнительно надежный. Однако этот метод содержит существенный недостаток, так как не позволяет проверить, действительно ли исследуемая связь функциональная и, что еще более важно, не исключает возможности субъективного подхода при разбивке экспериментальных данных на две группы, так как в противном случае задача вообще не решается, ибо нельзя найти двух неизвестных из одного уравнения. Метод избранных точек по существу графический и не обеспечивает желаемой точности. Метод наименьших квадратов, дающий возможность наилучшим образом отыскать постоянные а и b, часто избегают применять из-за сравнительной сложности.
Итак, когда будут получены Jg х и Ig у, вычисляют «логарифмический» * коэффициент корреляции г
где
0Is у
* Название «логврифьшчккий» коэффициент корреляции чисто условное.
і*— Igje) I (Igj/— lgi/) I
(674)
п
(675)
IiT--^;
п
(676)
^J\Usx-TTxY\ .
(677)
(678)
Если исследователя интересует регрессия с у на х, т. е. последующее вычисление у в зависимости от заданных значений х, то после получения величин Ig у, lgx, о1й(, olgy, г вычисляют коэффициент «логарифмической» регрессии
«w <679>
Pi8 в 1« X---. <680>
где х — дисперсия логарифма переменной х. Затем, имея
Pig WiB 1S*. 1&У> составляют уравнение регрессии
У ^ Рівнів* (lg*—ig«) + ig? (681)
Преобразовав уравнение (681) к виду
имеем
6 - Pig,/is Ig« - (Ї^-Рів , ¦ да
Следует заметить, что уравнения вида у = aebx, у — а + 6х", (/ = а + Wx1 г/ = ахь + с, г/ — аеЬх + си ряд других можно «выровнять», и, следовательно, задача определения постоянных для указанных случаев принципиально может быть решена аналогично случаю, когда переменные связаны уравнением у ~ ахь. Предлагаемое решение эффективно для случаев сравнительно простых (с двумя параметрами) уравнений, поддающихся логарифмическому выравниванию.
Рассмотрим решение методом «логарифмической» корреляции примеров 2, 3 и 4 (без оценки точности), решенных выше по методу наименьших квадратов.
Пример 2 (см. стр. 195).
По данным таб.1. 39 вычислим 0^9, °"!(,5, f. I'lgSJ^tl' составим уравнение регрессии и вычислим IgA
V0,01685 / 0,15944
—g--= 0,04589; o,g 5 - д/ —= 0,1412.
ClBf)
+ 0,05186
8-0,0458,-0,1412
= + 1,00-, (6*4)
Таблица 39
Величины
Логарифм "Si
и"
Квадраты уклоне&тиії
¦А
о"
S
•а
ГУ, QE
ш о с"
Qe ¦о
Cl
С? t?
S
273 233 288 293 313 333 353 373
29,4
33.3 35,2 37,2 45,8 55,2 65,6 77,3
2.436 2.452 2.459 2.467 2.4% 2.522 2.548 2,572
1.468
1,522 1,547 1,57( I Ш 1.742 1.817 1,888
—0,058 —0.042 —0.035 -0.027 +0.002 +0.028 +0.054 +0.078
—0.184 —0.130 —0.105 —0.0Sl +0.005 + 0.090 -1-0.165 +0.236
+0.01067 +0,00546 +0.00368 +0 00219 +0.00002 + 0,00252 —0.00891 +0.01841
0.00336 0.00176 0.00122 0,00073 0,00000 0.00078 0.00292 0.00608
0.03386 0,01690 0,01102 0,00656 0,00008 0,00810 0.02722 0,05570
19,952
13,216
—0,102
—0,500
+0.051 №
0,01065
0Л1УЭ44
їй в
= 2,494, lgs
1.652
1-0,162
і 0,500
Контроль:
0.000
0,000
IgS = 3,078IgO-6,025. (686)
Таким образом,
Ig3 = —6.025; b- -(¦3,08 (687)
При определении 1й а к Ь по методу средник К- А. Семенляевым полу-
j
lga= -6,055; b= -3,09. (687')
Выше (стр. №6) пи методу наименьших квадратов было получено
lga = —6.028; + 3,078. (687")
Пример 3 (см. стр. 199)
На основании табл. 35 составим табл. 40.
0"Ik l
0,686
6-0,19664-0,6848 + 0.681>
X - Pr
- + 0,994; - ^ -!- 2.&5&S49;
'I?"iv/lg l г,(С,19664)2
Ig mv = + 2,957; \gL-2,7S5.
