Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
-AiL. (627)
Qu =
Пользуясь выражениями (618) и составляя суммы [сф], lay], [By], lp«], fvp] и др., нетрудно убедиться, что справедливы равенства
[a6] = Q12, |pa] = Qai, [«V]^=QiB. [¦H=Q3I и т. д.,
т. е.
Qr/ - Q/f. (628)
Свойство (628) приводит к сокращению объема вычислительных работ при определении весовых коэффициентов; из системы (613) легко подсчитать, что можно ограничиться необходимым и достаточным числом весовых коэффициентов, равным k2 + k/2, где k — число неизвестных.
§64. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПО СПОСОБУ ГАНЗЕНА
Кроме вышеприведенных способов и формул определения весовых коэффициентов (622), (625), (626), (627), (628), их можно сравнительно нетрудно определить способом, разработанным немецким астрономом Ганзеном. Сущность способа, применительно к системе (565), заключается в следующем. Решим систему (616) методом последовательного исключения неизвестных
Im] Q31+ [ab)QS2+- [ас] Q33 = O1 [Ub)Q31 + [bb]Q32 + \bc) Q33 = 0, lac] QS1 + [be] Q32 + [CC]Q33 = I
(616)
и получим
[аа] Q31 + [ObJ Q32 +[ac] Q33 = O, [W»I]Qsa + !bcl[Q33=0, [cc2]Q33 = l.
Из системы эквивалентных уравнений (629) находим Q33=-
(629)
[сс2] VS2 —--Г7ТТТ
[WI]
Qm =
[ab\
[аа]
\ас
За-
їла]
^1Q3
(630)
Запишем два первых уравнения эквивалентной системы для (615); имеем
[Oa)Q21 + {ab] Qn + [ас] Q23 = 0, }
IbMIQ22 + IbClIQ23 = I. j ( '
деления коэффициента при нем в системе (63S) на коэффициент при последнем неизвестном (z), умноженному на вес последнего неизвестного (pz). При небольшом числе неизвестных (до 4) рассмотренный способ определения весов неизвестных весьма эф-
§ 66. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ПАРАМЕТРОВ, НАЙДЕННЫХ СПОСОБОМ ГАУССА ИЛИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Часто исследователя может интересовать показатель точности функции параметров, найденных рассмотренными выше способами, а не только точность их самих (»гл, "V ¦ ¦ ¦ , щ)- Задача в этом
где ft, /а, /3 — известные коэффициенты функции (643), которую иногда называют весовой; fu — постоянное слагаемое.
Необходимо найти среднюю квадратнческую ошибку mF или вес функции pF. Формулу (335) здесь применять пока нельзя, так как лг, у, г зависимы. Первая задача при решении вопроса на определение mF (или рр), таким образом, состоит в том, чтобы попытаться выразить F в функции от независимых результатов измерений /,-. Итак, подставим в формулу (643) вместо х, у, г их значения из (619), получим
фективен.
-MfVi+ IV1H ¦
MyM ¦
. + ^Jn)
— M'Yi'i + Ys's+ ¦ - ¦ ¦r"? Jn)
(644)
или
F
/о —(/id WzPiWaYi) 'і — — WsPH fab) h —
Принимая пі/ =
-<Л«„ W1PnWaY-H». <645>
m I2 = . . . = ITHn = тп no формуле (335),
имеем
+ W.P- WiY»)1}'"1-
(646)
Так как
mF- т s\J-у- , (647)
то с учетом формулы (647) можем, раскрывая скобки, формулу (646) переписать
-j- = H + /ІРЇ + fiy] + VMi г2/V3SiYi f 2Ш,У, + Pf
f h/гРп т- fhl + 2/Ул,ря + 2Мл,Т* + 2/2/sp>,. (648) Суммируя формулы (648), в сокращенной записи получим -j- - а [аа] +-fl Ipp] -, ^ lwl +2/J2 lap] + laY| + 2/J3IPvI.
(649)
Учитывая, что
l*«] = Qn. IPPJ-Qk. 1 YYl-Q,s. 1*Pl=Q,z. l*Yb Qi3.
IPyI = Q23, (6-)0)
формулу (649) в случае применения при решении нормальных уравнений способа Гаусса запишем
= /TQn + flQzz + flQ* ¦ і' 2/./,Qp- I- 2/J3Q13 + 2Z=Z3Q;,. (651)
Если в формуле (643) k параметров, формула (651) имеет вид
^--='iQn-i SiQn+ ¦ ¦ ¦ -t-/tQ«+ 2/,Z2Q13 і- . . . + Pf
+ 2[к_Ш-і.к. (652)
В случае применения способа определителей для отыскания х, у, і формула для обратного веса, с учетом (626) и (627),
может быть записана так
-~ = -?-(/1Лп+/Х+ - ¦ - +/*Д« 4-2/^*4,,+ . . . +
+ 2/,3^18+ . . - +-2It-JkAk-Vk). (65Д)
§ 67. ПРИМЕРЫ НА ВЫРАВНИВАНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Пример I. В табл. 31 приведены ш работы [7] результаты измерений электрическою сопротивления R1 мерного стержня при разной температуре ',' ('C). Зависимость R от / согласно рис. 13 выражается формуле"1
R^a + bt. (I)
191
определить параметры а и Ь по методу наименьших квадратов и оценить их точность; определить вес и среднюю квадратнческую ошибку функции
R =,, + 40*; (JI)
Решение.
!.Составление уравнений поправок. Исходя иэ условного уравнения (I). с учетом формулы (548) уравнения поправок выражаются в виде
Vi = а -\- f;b — Ri
R 1,0м
О' = 1. 2.....7)
или конкрет 11
V1 =
а -
\- 19,IA -
76,30,
V2 ^
а -
1-25,06 —
77,30,
V3 .-
а -
Ь 30,Ib-
79,75,
Vt-
1! -
-36,0S -
80. №.
''я =
а -
40,0* -
82,35,
f'e =¦
а -
|-45,Jft —
S3,00,
V1 =
а -
-50,Oi —
85,10.
Г5 20 25 JO 35 40 tL,aC Рис. 13
N1 Ia + 245,ЪЬ -566,0 = 0 Nt 245,3а -f- 9325.83Й — 20044,495^0.
Поданным табл 31 и системы (111) составим нормальные уравнения
I
(IV)
2. Решение нормальных уравнении Способом определителей:
D =
Dn = -
Dh =
= t.52SO,Kl - 60172,09 = 5108.":.
= 5278419,78 -4916914,62 = 361505,16;
