МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Бифуркация — это важное понятие в нелинейной теории МГД-нсустойчивостей. Под влиянием некоторых неустойчивостей плазменный шнур приобретает винтовую структуру, которая может быть новым равновесием. Если параметры плазмы изменяются, то точки в пространстве параметров, где плазіма нейтрально устойчива, являются точками бифуркации. Вблизи от таких точек устойчивость плазмы можно исследовать, рассматривая близкие равновесия с учетом законов сохранения. Такой подход становится несправедливым, если неустойчивость приводит к релаксационным колебаниям, турбулентности или полному распаду плазмы.
Вопрос 4.5,2. Что произойдет в том примере, который рассматривался в этом параграфе, если квадруполышй ток увеличить выше максимального, допустимого равновесием? Будет ли плазма с вытянутым сечением устойчива по отношению к дальнейшему вытягиванию, даже если токи согласованы с условиями равновесия?
§ 4.6. ПЛАЗМА, ЗАЖАТАЯ МЕЖДУ ПРОВОДЯЩИМИ СТЕНКАМИ
При использовании внешних проводников, растягивающих плазму так, как описано в § 4.5, возникает ряд серьезных проблем. При попытках увеличить вытянутость к границе плазмы приближается сепаратриса и развивается неустойчивость по отношению к вертикальным смещениям. Многие годы исследователи, изучающие различные варианты этого метода создания вытянутости сечения, сталкивались с этой трудностью (оставим пока в стороне конфигурацию типа «Дублет»). Тогда Беккср и Каднш [15, 17] нашли аналитический пример сильповылянутого равновесия вообще без сепаратрисы, что, казалось, должно было приводить к хорошей вертикальной устойчивости плазмы, а фон Хагенау [16] нашел равновесие с теми же свойствами с помощью численных методов *. Забавно, что первый пример Беккера полностью они-
* Аналогичное решение было .найдено В. А. Пампотом (Жури. техн. фнз., 1973, т. 43, с. 853). — Примеч. ред.
61
сан в книге Морса и Фешбаха [31, с. 1247—1250] в разд. «Переменный конденсатор». Этот пример достаточно прост, но перед тем как заняться им, мы должны изучить некоторые свойства МГД-равновесия в модели с поверхностным током.
В модели поверхностного тока весь плазменный ток протекает по поверхности плазмы. Внутри плазмы давление однородно н скачком меняется на границе. Магнитное поле совпадает с вакуумным везде, за исключением разрыва на поверхности плазмы. Скачки в давлении и магнитном поле можно связать, рассмотрев интегральную форму уравнений равновесия (4.1.7), если интегрирование проводится по небольшому плоскому элементу объема, охватывающему границу плазмы. Так как магнитное поле параллельно поверхности плазмы, то оно параллельно основаниям тон-
кой коробочки, так что п-В = 0. Таким образом, для бесконечно малого элемента объема уравнение (4.1.7) дает соотношение
(P ¦ i Й2/ЭД„„ -(р+ WU,, (4.6.1)
причем р обычно принимают равным нулю снаружи от плазмы. Плотность тока на поверхности плазмы J,, легко оценить, вычисляя интеграл от J = y ХВ/ц по контуру, окружающему небольшой сегмент поверхности плазмы:
tiJ, -= n X (Ва№ШК - BBJ. (4.6.2)
Вопрос 4.6.1. Физический смысл равенства (4,6.1) состоит в том, что разность давления плазмы уравновешивается разностью магнитного давления с двух сторон от границы плазмы. Почему лри этом не играют роли силы, связанные с кривизной магнитного поля?
Вопрос 4.6.2» Рассмотрим круглый тор, в котором плазма удерживается только поверхностным током. Полоидальное поле внутри плазмы отсутствует; а тороидальное поле изменяется как испытывая скачок по амплитуде при переходе через поверхность -плазмы. Все поля можно вычислить аналнтическн.
Каким должен быть скачок чтобы полоидальное магнитное поле обрати*
лось в нуль на внутреннем обводе тора? Как меняется згти условие в зависимости от аспектного отношения? Каковы максимально допустимые значения
$z=pjByQf2u и ?npn при этих условиях?
Рассмотрим теперь аналогию между равновесием плазмы с вы-тянутым сечением и задачей о переменном конденсаторе, которая была решена Морсом и Фешбахом. Заменим электрический потенциал функцией потока полоидального магнитного поля, а перпендикулярное эквипотенциальным поверхностям электрическое по* ле— магнитным, направленным параллельно магнитным поверхностям, Электрический заряд заменяется плотностью продольного тока (направленного от читателя). Конфигурация состоит из полубесконечной пластины (магнитной поверхности), расположенной между двумя бесконечными плоскостями (магнитными поверхностями). Для определения эквипотенциальных поверхностей (маг-
62
нитных поверхностей) и электрического поля (магнитного поля) в пространстве между пластинами Морс и Фешбах использовали метод конформных отображений. Было показано, что на магнитной поверхности, проходящей в точности на половине расстояния между внутренней и внешними пластинами, магнитное поле является однородным. Вне этой магнитной поверхности ничего не изменится, если ток, протекающий по внутренней пластине, однородно распределить на этой выделенной магнитной поверхности. Заменяя теперь все то, что расположено внутри этой магнитной поверхности, плазмой с однородным давлением и продольным полем, получаем точное решение уравнений МГД-равновесия. Плазма имеет полу бесконечную длину, но между ней и стенкой сепаратриса отсутствует. Ток протекает по тем частям стенок, которые расположены напротив плазмы. Отметим, что ширина плазмы должна составлять половину расстояния между стенками.
