Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.2. Оцениваются параметры а, и Ьк зависимости
т п
Y = X a(Xi + X bkZk. В r-м наблюдении значения Zkt и Yt наблюдаются
точно, а вместо истинных значений Хи наблюдаются значения НВ Uit = Xit + Ошибки при разных / и t независимы и имеют функцию принадлежности Л(1^/71/5,), где S; - известные масштабные параметры, характеризующие средние размеры ошибок, h - убывающая функция.
Здесь оптимальные оценки неизвестных параметров являются решением задачи:
т\п\supminh(\%it \lSt)
yt = I< a{{Uit + + I bkZh \ => max.
i=l *=1
Легко проверяется, что при каждом t оптимальные имеют одну и ту же степень принадлежности, так что
m п
Ъ = ~-^-Si sign(«.) •
1=1
Поскольку функция h убывающая, отсюда следует, что
77
оптимальные д, и Ьк являются решением задачи:
max t
i=\ к=]
min.B (4.5)
Пример 4.3. Пусть в условиях примера 4.2 независимые ошибки наблюдения ?|7 являются ПВ и характеризуются функциями правдо-
2
подобия Л(?|,) = ехр{-^/,/2?,). Тогда степень правдоподобия всей сово-
купности ошибок будет ехр<
./=1 /
и задача сведется к мак-
симизации этого выражения при условиях Yt = ? fl,(?//r ~^//)+ X bkZkr
m /г
Отсюда найдем: ?|7 = —--. Из этого легко выво-
1=1
дится, что оптимальные а, и &Л являются решением задачи: I {? aiUil+t btZtl-Yt)
-L-bi--L^^. (4.6)
/=1
Так, если n = О, а все 5, одинаковы, оптимальным а, отвечает минимальная сумма квадратов расстояний от точек (?//„..., Umt) до гипер-
m
плоскостей Yt = X Такой критерий был, по-видимому, впервые /=1
предложен в [65].¦
Пример 4.4. Оценивается параметр а в зависимости Y = Ф(Х, я), причем значения Xt наблюдаются точно, а результатом наблюдения Yt является V, = Yt + где - независимые ПВ, имеющие одну и ту же функцию относительного правдоподобия Л(?). Здесь МС-принцип приводит к задаче: П nWt -Ф(АГг,а)] => max. Легко видеть, что такой кри-t
терий эквивалентен минимизации показателя интегрального отклонения
X g[Vt -Ф(Хпа)]9 где g(x) = -In h(x). Критерии такого типа t
предложены в [42] для устойчивой оценки параметров вероятностных распределений. Отметим важное их преимущество: изменения функции А, при которых ее логарифмическая производная меняется мало, несущественно влияют на оптимальное значение а.Ш
78
Обратим теперь внимание на то, что при данном подходе оптимальные оценки параметров минимизируют показатель интегрального отклонения, исчисленный тем или иным способом (в примере 4.4 - сумма некоторых функций от локальных отклонений, в примере 4.1-максимум из локальных отклонений). Это не противоречит общей оценке метода минимизации интегрального отклонения, высказанной в п. 2.3, поскольку в рассмотренных ситуациях неопределенность наблюдений характеризовалась определенной структурой - для функций правдоподобия иного вида окончательный критерий может не сводиться к расстояниям, измеряемым в легко интерпретируемых метриках.
Пример 4.5. Пусть в условиях примера 4.3 функция правдоподобия
ошибок имеет иной вид Л(Е|7) =--. Легко проверить, что опти-
ch(^,/D,) Р
т
мизация сводится здесь к задаче: ]Г lnch(^lV / Dt) => min;
i=i
т т п
1 = 1 1 = 1 *=1
Поэтому = D,arth(^ra,D,), где Xt - корень уравнения
т 1
? ar-D|.arth(ViA) = A,-. При этом 1псп(^,/Д) =—ln[l)2], *=i 2
так что оптимальные а, и Ък являются решением задачи: X lnch[l - (крМ У ] => min;
т т п
i=l /=1 А:=1
Такой критерий уже не сводится к минимизации какого-то интегрального отклонения.»
Мы видим, что минимизация интегрального отклонения как метод оптимальной оценки параметров зависимостей обоснована лишь в случаях, когда "степень реальности" наблюдений определяется их расстояниями от истинных значений характеристик - это довольно распространенная, но отнюдь не общая ситуация.
Отметим, наконец, что МС-принцип применим и при неточно заданных функциях правдоподобия. Пусть в условиях примера 4.4 о функции правдоподобия к известен лишь некоторый класс Ж, которому она принадлежит. Тогда задача сведется к одновременному нахождению наиболее согласованных с исходной информацией значений параметра а и функции h е Ж из условия П h{Vt - Ф(Хпа)} => max.
79
4.2. Оценка непараметрических зависимостей
До сих пор речь шла, в основном, об оценке параметрических зависимостей. Как доказывается в математической статистике [2], если в таких зависимостях объясняемая переменная наблюдается со случайной ошибкой, то МП-оценки неизвестных параметров оказываются состоятельными, т.е. с вероятностью 1 сходятся к истинным значениям при неограниченном увеличении числа наблюдений. Для непараметрических зависимостей положение иное. Действительно, пусть, например, вид зависимости Y =f(X) функции неизвестен, значения Y наблюдаются только в точках X = 0, 1, 2, и любая другая информация о моделируемом процессе или явлении отсутствует. Тогда никакое количество наблюдений не позволит даже приближенно оценить значение/(3). Это означает, что для непараметрических зависимостей рассчитывать на получение состоятельных оценок в общем случае не приходится и увеличение числа наблюдений не позволит, в общем случае, повысить точность оценки.
