Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Функции от ПВ определяются точно так же, как и для НВ, однако независимость ПВ вводится по аналогии с СВ. ПВ Х\, ...,Хк, характеризуемые функциями правдоподобия соответственно р\(г), ...,рк(г), называются независимыми, если функция правдоподобия векторной ПВ У = (Хи Хк) имеет вид pY(rb гк) = рх(гх), ...9рк(гк).
Отсюда, в частности, вытекает правило суммирования независимых ПВ: Z = ATj ЛГ2 определяется как ПВ, имеющая функцию правдоподобия р (г) = sup [p\(s)p2(r - s)]. В [57, 62] данное- правило
s
вводилось как одно из возможных обобщений правила суммирования нечетких величин (однако ПВ нельзя рассматривать как разновидность НВ - эти величины выражают разные, но не все возможные видь1 неопределенности).
Приведем, аналогично вышесказанному, некоторые сведения из теории ПВ [60]. Каждая ПВ X однозначно характеризуется своим "логарифмическим надграфиком" ЧЬХ = \(гУ /г)1—Inpx(r) ^ h},*G<M ^ 1.. В том случае, если это множество выпукло и замкнуто, назовем^ПВ стандартной (в одномерном случае X будет стандартной, если функция In р\(г) выпукла. Заменив логарифмический надграфик его выпуклым замыканием, мы получим другое множество, которое> будет также логарифмическим надграфиком некоторой стандартной ПВ Xе —выпуклого замыкания исходной ПВ X.
Близость ПВ оказалось удобным характеризовать хаусдорфовым
20 Последнее требование можно заменить двумя другими, возможно, более естественными: 1) функция рх ограничена сверху; 2) функции рх и крх при к > ОПалршделадот одну и ту же ПВ.
70
расстоянием между их логарифмическими надграфиками. При умножении ПВ на положительное число X логарифмический надграфик подобно преобразуются - каждая его точка умножается на X, При сложении двух независимых ПВ логарифмические надграфики суммируются по Минковскому. Аналога закону больших чисел нет и для ПВ: функция правдоподобия для среднего арифметического из п независимых "одинаково распределенных" ПВ Х{ при при п —» сю стремится к функции правдоподобия для выпуклого замыкания Х{ (это доказывается так же, как и для НВ).
Как и для НВ, функции правдоподобия для ошибок наблюдений можно считать зависящими от модуля ошибки. Поэтому и здесь можно ввести понятие средней ошибки, отделяющей более правдоподобные (т.е. имеющие степень правдоподобия больше 1/2) значения ошибок от менее правдоподобных. Так, если функция правдоподобия ошибки
имеет функцию правдоподобия 2"(г/Л) , то средняя ошибка будет равна R.
Будем называть функцию рх функцией реальности независимо от того, какой из трех типов неопределенности она отражает.
Не следует думать, что все возможные типы неопределенных величин сводятся к трем описанным - их намного больше, и проблема полного описания класса "разумных" и практически важных типов неопределенности еще ждет своего решения. Отметим лишь, что "альтернативные" определения независимости должны, по нашему мнению, удовлетворять следующему требованию: если независимыми являются компоненты векторов Z = (Хи Х2) kW = (Z, ЛГ3), то независимыми будут и компоненты векторов U = (Хь Хъ) и V = (U, Хч). Такому требованию удовлетворяют не только операции умножения "степеней реальности" или взятия минимальной из них, но и другие, более "экзотические",
В то же время рассмотренные выше способы формализации "случайных" ошибок в определенном смысле могут рассматриваться как элементарные. Используя их как "кирпичики", можно получить "смешанные" типы неопределенности (см. п. 4.4), моделями которых удобно пользоваться при решении эконометрических задач. В этой связи в следующей таблице сопоставляются определения и основные свойства рассмотренных выше типов неопределенных скалярных величин.
Общую схему оптимальной оценки рассмотрим на примере оценки (векторного) параметра а в зависимости Y = Ф(Х, а). Пусть Yt и Xt -"истинные" значения характеристики r-го объекта ГС, Xt наблюдается точно, Vt - наблюдаемые (с ошибками) значения Yt, a Y и V - вектора, образованные из Yt и Vt для всех г. Если результатами наблюдений являются неопределенные величины одного из рассмотренных выше видов, то для каждого t при заданных Yt наблюдение Vt характеризуется некоторой "степенью реальности" тг, = pt(Yt, V„ а). При этом
71
Основные типы неопределенных величин
Понятия, связанные с неопределенной величиной X Случайнная величина Нечеткая величина Величина, наделенная правдоподобием
Основная характеристика рх(г) - "степень реальности" события X = г Вероятность события X = г Степень принадлежности г к множеству возможных значений X Правдоподобие г как возможного значения X
Свойства функции р^г) Рх(г)^0, 1 Рх(г) = \ г Рх<г)>0, supper) = 1 г supper) = 1 г
X - детерминированная величина г Px(s) = 0; Vs*r Px<>')=h рх(*) = 0; V**r Pxir)=h рх(*) = 0; Vs*r
Y=AX) PAS)= I Px(r) r.f(r)=s Py{s)= sup px{r) r.f(r)=s Py(s)= sup px(r) r:f(r)=s
Независимость компонент вектора Z = (X,.....Х„) Рг(Г\,.~,гп) = = П PxMi) /=1 Р7Мь»"Гп) = = minpv.(/-) Pz(f\.....Г„) = = П pxM) 1=1
если сочетание (Yti Vn а) в принципе невозможно (например, какие-то из показателей выходят за допустимые пределы), соответствующая степень реальности принимается равной нулю. Теперь по приведенным в таблице формулам можно определить и степень реальности для всей совокупности наблюдений Р(У, V, а). Так, для независимых случайных наблюдений она равна произведению всех я„ а для независимых нечетких наблюдений - наименьшему из л,. При фиксированных результатах наблюдений V эта функция, как отмечено выше, будет отражать степень согласованности набора (У, а) с данными наблюдений и другой исходной информацией, поэтому ее можно использовать как критерий согласованности (поскольку его значение лежит между нулем и единицей, он не будет инвариантен относительно монотонного преобразования). МС-принцип приводит теперь к задаче максимизации f(F, V, а) по переменным Yна.
