Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
С формальной математической точки зрения методы оценки зависимостей при каждом из рассмотренных типов "случайных" ошибок идентичны: задается характер неопределенности результатов наблюдений и соответствующие функции реальности (они могут строиться на базе как объективной, так и субъективной информации, аналогично тому, как в статистике вводится функция нормального распределения ошибок), что позволяет сначала записать критерий согласованности имеющихся наблюдений с исходной информацией, а затем и выбрать
72
такую оценку зависимости, которая максимизирует этот критерий (соответствующие примеры приводятся ниже). Однако вероятностная формализация "случайных" ошибок заставляет дополнительно требовать повторяемости, воспроизводимости наблюдений, рассматривать их как выборку из некоторой теоретически бесконечной ГС. В то же время при описании неопределенности в терминах НВ или ПВ такие интерпретации не требуются - этими объектами могут быть описаны и неповторяющиеся, уникальные наблюдения. Естественной платой за это является отсутствие предельных теорем и несостоятельность оценок ("наиболее согласованные" значения оцениваемых параметров могут не сходиться к истинным при увеличении числа наблюдений), хотя при малых объемах наблюдений эту цену нельзя признать слишком высокой.
3.4. Интервальные неопределенности
Типичным примером неопределенности является следующий. Результаты наблюдения показывают, что величина X лежит в некотором интервале [д, Ь]. Неизвестен ни закон ее распределения, ни то, является ли она случайной величиной. В общем случае о неопределенной (например, векторной) характеристике X известно только ограниченное множество ее возможных значений. Этот вид неопределенности уже упоминался в п. 2.9.
Близкая ситуация рассматривалась в свое время Сэвиджем [49, 50], поставившим задачу о сравнении альтернатив, результаты которых зависят от неизвестного "состояния природы". При определенных предположениях он показал, что разумные правила сравнения при этом должны базироваться на введении "субъективных вероятностей" в пространстве возможных состояний природы. Приняв подход Сэвиджа, исследователь, казалось бы, может использовать "обычные" методы математической статистики, предварительно задав (экспертно) вероятностное распределение на указанном отрезке. Однако при этом придется убедительно (для "заказчика" и возможных рецензентов) обосновать правильность и объективность выбора именно этого распределения. С другой стороны, данную неопределенную величину X можно описать и как нечеткую, у которой функция принадлежности равна 1 на отрезке [а, Ь] и нулю вне его, либо как ПВ с такой же функцией относительного правдоподобия. При этом имеющаяся информация о возможных значениях величины X используется полностью. Этот пример показывает, что стремление использовать "общепринятый" метод может усилить субъективизм получаемых при исследовании результатов.
Рассматриваемый тип "интервальной" неопределенности (set-uncertainty) допускает интересное обобщение [63, 64]. Если о величине X известно только, что она лежит в некотором интервале, то можно рассматривать ее как СВ, для распределения которой известен только носитель. Класс таких СВ весьма широк, но при наличии дополнительной
4 Г.Б. Клейнер и др.
73
информации (например, о том, что правая половина интервала более вероятна, чем левая) он сужается. В результате возникает "интерваль-но-вероятностный" тип неопределенности, когда ошибки (или результаты наблюдения) являются СВ, чей закон распределения принадлежат заданному классу SF (некоторому "интервалу" в пространстве распределений). В ситуации, когда 3F состоит из единственного распределения, мы приходим к стохастическим величинам. Если 2F состоит из распределений, зависящим известным образом от неизвестных параметров (например, из треугольных распределений с неизвестной вер-в шиной или из усеченных нормальных распределений с неизвестным средним и дисперсией), возникает традиционная задача математической статистики: одновременное определение параметров неизвестной зависимости и закона распределения ошибок. Если же класс SF состоит из всех распределений на некотором отрезке, мы приходим к традиционной интервальной неопределенности. Наконец, если этот класс состоит из смесей вида (1 - e)F + гН, где F - распределение заданного типа, И -произвольное вероятностное распределение, мы приходим к модели грубых ошибок, рассмотренной в [42] и обсуждаемой ниже, в п. 4.3.
Подобная "смешанная" неопределенность может быть введена не только для СВ, но и для НВ и ПВ. Так, интервально-нечеткая (наделенная интервальным правдоподобием) величина может быть определена следующим образом. О величине X известно, что она нечеткая (наделена правдоподобием) и ее функция принадлежности (правдоподобия) принадлежит некоторому множеству 2F. "Традиционная" интервальная неопределенность отвечает в этой ситуации множеству 3F, включающему любые функции, значения которых на заданном отрезке лежат между 0 и 1 и равны 0 вне его.
4. ОЦЕНКА ЗАВИСИМОСТЕЙ ПРИ РАЗНЫХ ТИПАХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
