Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Решим эту задачу вначале МПЗ-методом. Для этого обозначим = д^-Г), и заметим, что эта случайная величина имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией a2Q + R. Теперь зависимость принимает вид V, = ail, + и ей отвечает функция правдо-
* , 1 \ (Vt-aUt)2} _
подобия L - П / ехр \- ^; 2^ ^ \. Отсюда легко выте-
4lK(a2Q + R) I 2(a2Q+R)
т
кает, что оптимальное а определяется из условия S = ? (V, - aUt)2 =>
t=\
=> min, и при этом оптимальной оценкой для a2Q + R будет SIT. Оценить 2;, и Г), и, тем более, Q nR в отдельности, к сожалению, здесь не удается.
Следуя [2, 40], применим теперь МПО-метод. Поскольку Г|, = aUt + a^t - Vh то здесь:
L=\\—\=e Ч 2*=П—U=e 2(? 2* ^тах. (2.11)
Приравнивая к нулю логарифмические производные L по д, <2 и /?, находим:
Ь = a(aUt-Vt+ai,t)
Q R
(2.12)
I (aUt - Vt + а$, )(?/, ) = 0, (2.13)
-? + -JrX -1 + Д-1 (flt/,-U,+O2=0. (2.14)
U. U, t к к t
Как выяснится далее, следующее преобразование имеет решающую роль. Говоря словами [2. П. 29. 14], "уравнения (2.14) дают":
Q = ^l^2; R = ^l (aU,-Vt+a^)2. (2.15)
It It
45
1 а1
Учтем теперь, что в силу (2.12) — Е = ~Х (a^t -Vt + я^)2-
Q t R t
T ci^T
Отсюда и из (2.15) получаем — =-, так что R = a2Q - это соот-
Q R
ношение впервые получено в [40]. Однако соотношение истинных значений Q и R может быть иным, так что данный метод может давать несостоятельные оценки, что выяснено еще в [41]. Тем не менее для малых выборок несостоятельность оценок не слишком опасна, особенно, если учесть, что дисперсии ошибок - не самые важные параметры оцениваемых зависимостей.
V U
Подставив R = a2Q в (2.12), найдем: = —1---L, после
2а 2
чего (2.13) дает: ? f—+ —Y-^^-- —] = 0. Отсюда находим: а2 = / V 2 2а А 2 2)
= |х^2| y^|s^/2|- Легко проверить, что из двух значений а,
удовлетворяющих этому условию, максимальное значение функции правдоподобия будет достигаться, если знак а совпадает со знаком
I u,v,.
t
Полученная оценка а обладает двумя важными свойствами:
1) она является средним геометрическим из оценки /??/,2,
t I t
отвечающей уравнению регрессии Vt = aUt - Г)„ и оценки X ^2 /XUtVt,
t I t
отвечающей "обратному" уравнению регрессии U, = а~х V,
т
2) она минимизирует критерий \а\~] X (Vf-aUt)2.
t=\
Казалось бы, такое решение вполне удовлетворительно. Однако это не так! Дело в том, что проведенные преобразования некорректны, (2.14) отнюдь не всегда "дает" (2.15), а найденное сочетание a, Q и/? не обеспечивает максимума функции правдоподобия (2.11). Действительно, положим все равными нулю и устремим Q к нулю. Нетрудно убедиться, что в этом случае L —> оо, тогда как при найденных выше a, Q и R величина L из (2.11) конечна. Таким образом, максимум функции правдоподобия в данной задаче бесконечный и достигается совсем при других сочетаниях ?f, Q и/?. К тому же теперь становится неясным, какое значение а является оптимальным - любому а отвечает одно и то же бесконечное значение функции правдоподобия. Но, может быть найденное сочетание a, QnR обеспечивает не глобальный, а локальный максимум функции правдоподобия? Оказывается, что и это не так: можно показать, что оно отвечает седловой точке функции правдоподобия - при отклонениях от нее в одних направлениях эта
46
функция убывает, но при отклонениях в других направлениях (например, при уменьшении Q и увеличении R) - растет. Некорректность же проведенных преобразований объясняется просто: равенства (2.15) являются следствиями (2.14) только если Q и R отличны от нуля! ¦
Как видно из последнего примера, МПО-метод оказывается неработоспособным в некоторых ситуациях. При этом одного того факта, что число ошибок превышает число наблюдений, недостаточно: в рассмотренном примере этот метод привел бы к корректному решению, если бы было известно отношение дисперсий Q и R, но не позволил бы оценить а, если бы была известна сумма этих дисперсий.
2.7. Основные недостатки метода максимального правдоподобия
Мы видели, что МП-метод идейно прост, имеет широкую сферу применения и часто дает хорошие практические результаты. Однако он имеет и ряд недостатков.
1. Выбрать МП-методом лучшую из альтернативных моделей зависимости, как в примере 2.7, удается не всегда. Рассмотрим две модели зависимости между характеристиками Yt и Xt объекта в динамике. В соответствии с первой Y, = aXt + Ъ + причем ^г - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и неизвестной дисперсией. Во второй модели Yt - Y,_x = a{Xt - Xt_i) + + r^, где r\t устроены аналогично. Для каждой из моделей МП-метод применим, однако сравнить значения правдоподобия нельзя, ибо в первом случае величина Yt случайная (и ей отвечает некоторая плотность распределения), тогда как во втором Yt считается детерминированной (и отвечающая ей плотность бесконечна). Аналогичная ситуация часто имеет место при оценке параметров производственных функций.
2. На практике МП-метод обычно применяется для оценки параметрических зависимостей, когда функция правдоподобия зависит от конечного числа параметров. "В чистом виде" применить его в непараметрическом случае, по-видимому, нельзя (некоторые ситуации, где это удается, рассматриваются в п. 4.2, однако они носят исключительный характер, и к тому же здесь не удается оценить искомую зависимость во всей области ее определения). Далее, как уже отмечалось, иногда параметры оцениваемой зависимости можно рассматривать как реализацию некоторого случайного вектора с известным априорным распределением, применяя МП-метод в сочетании с байесовским оцениванием. Однако для непараметрических зависимостей такой подход реализовать не удается, поскольку в пространствах функций нельзя ввести "хорошую" вероятностную меру, сосредоточенную на функциях, обладающих привычными для экономических моделей свойствами (например, достаточно гладких и выпуклых).
