Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
2*
35
функционалы, например,
Q,=\{f"{X)lf\X))2dX, (2.5)
что, однако, приводит к решению системы нелинейных уравнений.
Казалось бы, использование функционалов гладкости должно приводить к более субъективным решениям по сравнению с применением функций потерь. На деле этого не происходит, ибо сами функции потерь обычно задаются весьма приблизительно и с высокой долей субъективизма, в то время как представления о "степени гладкости" зависимостей у разных специалистов близки (в экспериментах установлено, например, что разные математики, графически решая одну и ту же задачу интерполяции, получают довольно близкие результаты). К тому же функционал гладкости во многих случаях также допускает трактовку как своеобразная функция потерь, так как выбор "негладкой" зависимости может усложнить производственный процесс и часто создает трудности во взаимоотношениях с заказчиком или оппонентами13. Поэтому использование функционалов гладкости для оценки непараметрических зависимостей в экономике может оказаться весьма полезным, и далее этот подход будет развит.
2.5. Принцип максимального правдоподобия
Каков бы ни был способ оценки неизвестной зависимости, исследователю приходится учитывать общее требование согласованности получаемой зависимости с имеющейся информацией. Но как понимать такую согласованность при наличии случайных ошибок? Общая теория статистики [17, 37] на этот вопрос ответа не дает, ссылаясь на "общепринятый" метод наименьших квадратов, который, как нам кажется, каждый раз нуждается в содержательном обосновании исходя из условий поставленной задачи. Один из путей такого обоснования иллюстрируется следующим примером.
Пример 2.3. Пусть оценивается линейная зависимость между переменными X и К, причем X наблюдается точно, a Y - со стохастической ошибкой, имеющей нормальное распределение с небольшой дисперсией. Пусть имеются три наблюдения пары значений X и Y: (0; -0,01), (1; 1,02) и (2; 1,99). Надо полагать, что любой метод статистической обработки покажет наличие зависимости, близкой к Y = X. Однако наблюдениям "не противоречит" и зависимость Y = 4 - X, поскольку теория вероятностей не исключает возникновения соответствующих такому выводу ошибок при измерении Y. Однако такую зависимость статистики отбрасывают: она могла бы иметь место только при очень больших и маловероятных ошибках наблюдения, и потому гораздо хуже согласуется с данными наблюдений, чем "рассчитанная" зависимость
В последнем случае исследователь должен ориентироваться не столько на "свой" функционал гладкости, сколько на функционал, которым пользуются его предполагаемые оппоненты.
36
Y = X. Формализуется это следующим образом. Вероятности событий, которые фактически произошли (хотя при данных условиях могли осуществиться и другие события), в теории вероятностей характеризуются термином "правдоподобие". В этих терминах зависимость Y = 4-Х описывается как в принципе возможная, но значительно менее правдоподобная по сравнению с зависимостью Y = X. Тем самым подразумевается возможность, пусть экспертно, отделить "достаточно правдоподобные" зависимости от "практически неправдоподобных" и тем самым руководствовать некоторым ограничением на величину "допустимого правдоподобия" (этим целям служат и критерии математической статистики, выделяющие область в пространстве оцениваемых параметров, где значение функции правдоподобия достаточно велико). Таким образом, здесь требование согласованности с имеющейся информацией трансформируется в требование "достаточного правдоподобия" искомой зависимости. ¦
Рассмотрение соответствующих методов начнем с ситуации, когда случайный вектор X имеет дискретное распределение и вероятность события X = Y - известная функция P(F, 0) от Y и неизвестного параметра 0. Произведено наблюдение, показавшее, что X = Н. Требуется оценить значение 0.
Величина Р(Н, 0) здесь показывает, с какой вероятностью повторение наблюдений будет приводить к тому же результату при данном 0. Если она мала, то наблюденное значение Н маловероятно и плохо согласуется с известным распределением. В [38] предложено, по существу, обратить это утверждение и считать, что значение параметра 0 при малом Р(Н, 0) плохо согласуется с результатом наблюдения, а при большом Р(Н, 0) - хорошо с ним согласуется. Для описания такой согласованности предложен термин "правдоподобие", так что Р(Н, 0), рассматриваемая при фиксированном Н как функция от 0, именуется функцией правдоподобия. Соответственно оптимальной оценкой предлагается считать такой 0, при котором Р(Н, 0) максимально: в этом суть принципа максимального правдоподобия (МП-принципа) и основанного на нем метода максимального правдоподобия (МП-метода), широко применяемому в математической статистике со времен появления работы [38]. Чаще, однако, МП-принцип используется для недискретных распределений. Здесь вероятности событий типа X = Н обычно нулевые, однако можно говорить о вероятностях попадания случайного вектора X в малую окрестность той иной точки //, который обычно описываются с помощью плотности распределения р(Я, 0). Поэтому здесь функцией правдоподобия именуют уже плотность /?(#, 0), рассматриваемую при фиксированном Н как функцию от 0. Соответственно модифицируется и МП-метод [2]. Далее мы увидим, что подобный переход от вероятностей к плотностям иногда может создать серьезные трудности. Использование МП-метода позволяет учесть и "неравноценность" наблюдений (разную дисперсию ошибок разных наблюдений, гетероскедастичность).
