Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
37
Пример 2.4. Оценивается удельный расход ресурса (а) при производстве некоторой продукции. Для этого используются фактические данные (Xt, Y{) об объемах выпуска продукции и потребления ресурса по годам (или месяцам) отчетного периода. Казалось бы, для описания соответствующей регрессионной зависимости можно было бы использовать модель Y, = aXt + где ^ - независимые нормально распределенные ошибки с нулевым средним и одинаковой дисперсией S. Здесь плотность совместного распределения Yt имеет
вид Yi г-— ехр{- (Yt - aXt)2 I2S). Максиммум этого выражения по S t ^2kS
и а достигается при я = ? XtYt /]Г х}\ S = — ? (Yt-aXt)2 и равен
г It Т х
[2neS]~m. В то же время более оправданным будет иное предположение. Расход ресурса определяется обычно суммированием данных о расходе отдельных его порций, причем измерения объема каждой порции производятся с независимыми ошибками. Естественно считать, что количество таких порций пропорционально объему производства. Поскольку при суммировании независимых ошибок их дисперсии суммируются, из этого следует, что дисперсия пропорциональна Xt. Обозначив коэффициент пропорциональности через 7?, получим
„ 1 f (Yt-aXtf\ г
новую функцию правдоподобия [[ , ехр<--1-1—>. Ее
/ <J2uRXt I 2RXt J
максимальное значение
-1-1/2
Т
t
(2neRy П Xt
(Yt-aXt)
tit 1 t *t
достигается при
2
В отличие от предыдущей, данная оценка а имеет более простой экономический смысл и обычно применяется на практике. ¦
Как видно из примера, при оценке зависимости нужна не только теоретическая модель этой зависимости, но и теория, описывающая характер ошибок наблюдений.
Пример 2.5. Оценивается параметр а зависимости Y = Ф(Х, а), связывающей истинные значения показателей некоторой ГС объектов, причем истинные значения Xt измеряются точно, а вместо истинных значений Y{ наблюдаются значения СВ Vn имеющие нормальные распределения со средними Y, и дисперсией S (неважно, известной или нет). Функция правдоподобия (плотность вероятностей всех наблюденных значений) здесь равна П г~—ехр{-1У, -Ф(Хпа)]2 /2SJ, а наиболее правдоподобный, максимизирующий эту функцию век-
38
тор параметров а может быть найден по критерию ? [Vt -Ф(Хпа)]2 min (метод наименьших квадратов). Именно в
такой модификации данный метод чаще всего применяется в экономических исследованиях. Если же в рассмотренной ситуации ошибки в Y распределены равномерно на некотором неизвестном симметричном интервале [-S, S], то функция правдоподобия принимает вид П XsW -Ф0ХрЯ)]/(25), где %s() - характеристическая функция
указанного интервала. В этом случае МП-оценки параметров S и а даются решением оптимизационной задачи с минимаксным критерием
На практике распределение случайных ошибок наблюдений обычно считается нормальным. Это, однако, может иногда противоречить экономическому содержанию переменных. В этой связи представляет интерес рассмотреть ситуацию, когда распределение ошибок качественно отличается от нормального.
Пример 2.6. Макроэкономическая производственная функция имеет
вид: D = аКа1}~аег, где D - валовой внутренний продукт (ВВП), К -основной капитал, L - затраты труда (отработанные человеко-часы). Необходимо оценить параметры а, а и у этой зависимости (у часто интерпретируется как темп автономного технического прогресса). С учетом влияния прочих факторов на ВВП результаты наблюдений
могут быть описаны регрессионной зависимостью Yt =aX?eyi?>n где Y = = DIL - производительность труда, X = KIL - фондовооруженность труда, а ?г - ошибка. Будем считать, что производственная функция выражает не фактический, а максимально возможный объем производства национального дохода при данных трудовых и капитальных ресурсах. Между тем влияние случайных факторов приводит к недоиспользованию ресурсов, т.е. к уменьшению ВВП против рассчитанного по модели. Это значит, что ошибки 1;, меньше единицы и отражают степень использования "мощностей народного хозяйства". Примем поэтому, что независимы и распределены на отрезке [0, 1], причем функция их распределения имеет вид =
S = max I V( -Ф(Хпа)\=* min. ¦
(2.6)
Тогда Yt будут иметь на [0, aX^eyt] функцию распределения
(
V
и плотность —
Yt{aX?ev)
. При этом критерий максимального
правдоподобия примет вид:
(2.7)
39
однако величины, стоящие в квадратных скобках, при этом должны быть меньше единицы. Отсюда легко находится оптимальное значение
а: а = max YjX^e'^. Теперь, логарифмируя (2.7), получаем следующее t
условие оптимальности для а и у:
Q = llmaxtln^-aln^-yrJ-nn^-alnX^-yrjl^min.
Теперь из (2.7) можно найти и оптимальное значение т: т = T/Q. В следующей таблице приведены данные по США за период 1946-1960 гг., рассчитанные по [4]:
Годы 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953
0,372 0,350 0,392 0,419 0,489 0,504 0,522 0,534
1,024 1,028 1,057 1,140 1,143 1,148 1,175 1,183
Годы 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
0,563 1,258 0,593 1,246 0,596 1,253 0,610 1,278 0,598 1,304 0,637 1,275 0,654 1,281
Расчет по приведенной модели дает: a = 0,568, у = 0,00829, т = 50,2. ¦
