Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
где S0 — текущая рыночная цена акции на начало периода; X — цена исполнения; г — непрерывная безрисковая ставка. Для определения цены опциона пут при рассчитанной по формуле (18.31) цене опциона колл можно применить формулу паритета опционов.
Для рассмотренного выше примера по биномиальной модели рассчитаем цену опциона колл с помощью формулы Блэка—Шоулза. Определим:
In — + (г + 0, 5a2 )Т In — + (0,1 +0,5-0,09)0,33
dx =-?-—---55-—---0,78;
oiT 0,3V0,33
229
d2 =0,78-0,3-VO^33 =0,612.
В таблице приложения 5 находим: N(dt) = 0,7823; N(d2) = °>7291;
С = 60 • 0,7823 - 55 • е~°<{' °-33 • 0,7219 = 8,16.
Размер премии опциона пут определим двумя способами: по формуле (18.35) и на основе формулы паритета опционов (18.7):
N(-dx) = 0,2177; N(-d2) = 0,2709;
р = 55 • е~ол '033 • 0,2709 - 60 • 0,2177 = 1,35; р=С+ Xe~rT - S0 = 1,35.
ПРИМЕР. S0 = 40 долл., X= 35 долл., г = 12%, / = 4 мес, о = 0,45. Найти премию опциона колл. Определим наобходимые величины:
d{ = [In 1,143 + (0,12 + V2 • 0,2025) • 0,333]/(0,45 • VO33) = (0,1337 + + 0,0737)/0,26 = 0,798; d2 = 0,798 - 0,26 = 0,538; N(d{) « 0,788; N(d2) -- 0,7047; с = 40- 0,788 - 33,6 • 0,7047 = 7,84.
Формула Блэка—Шоулза для активов, приносящих доход: С = S0 e~^N(dx) — Xe~rtN(d2) — для опциона колл, р = Xe~rtN(-d2) — S0 e~^N(—dx) — для опциона пут,
где q — годовая ставка дохода (дивиденда).
Опционы на индекс. Опционы на индекс исполь5уются с целью страхования сильно дифференцированного портфеля от риска снижения стоимости портфеля.
ПРИМЕР. Цена исполнения опциона колл — 3500. К моменту исполнения индекс составил 3550.
Доход покупателя в результате исполнения опциона (3550 - 3500)100 = 5000 долл.
ПРИМЕР. Цена исполнения опциона пут — 3600. К моменту исполнения
индекс равен 3550.
Доход (3600 - 3550)100 = 5000 долл.
d
aV7
230
Определение премии опциона на индекс. Используется формула Блэка-Шо-улза для акций, по которым выплачивается дивиденд.
ПРИМЕР. Покупается опцион колл на индекс на три месяца ценой исполнения 340 и величиной индекса на момент заключения контракта 350. Стандартное отклонение — 25%. Дивиденды будут выплачиваться по некоторым акциям в первом месяце, по другим — во втором, по части акций
— в третьем. Ставка дивиденда для первого месяца — 2%, для второго — 2,5, для третьего — 2,2%. Безрисковая ставка — 12%. Определить стоимость опциона.
Решение. Сначала находим среднюю ставку дивидендов и приводим ее к годовому измерению:
2 + 2,5 + 2,2
--—^-— • 12 = 26,8.
Рассчитаем dx и d2:
^ 1п|^,(0,12-0,268,0,252-0,5)-0,25 ^т^т ^
1 0,25'VOJ!5
N(d{) = 0,5;
d2 =0-0,25V<U5 =-0,125; N(d2) = 0,1057;
C = 350 • є"0-268 025 • 0,5 - 340 • є"0-12 • °'25 • 0,1057 = 327,3 • 0,5 -
- 330 • 0,1057 = 163,65 - 34,88 = 128,8.
0,25'V(U5
Стоимость опционного контракта: 128,8 • 100 = 12 880 долл.
Дельта, гамма, тета, ро и вега опционов. С целью принятия решений по хеджированию риска рассчитываются аналитические показатели, отражающие связь цены опциона и ряда влияющих на нее факторов. Среди таких факторов можно выделить цену основного актива, время до исполнения, процентную ставку и стандартное отклонение. Перечисленные показатели (дельта, тета, ро и вега) есть частные производные цены опциона по соответствующим факторам.
Дельта. Дельта опциона показывает скорость изменения цены опциона в зависимости от изменения цены акции. Для расчета используется следующая формула:
Ас = дС/dS = N(dx) для опциона колл; Ap = дС/dS = N(—dx) для опциона пут.
Величина А используется в процессе хеджирования. Например, А = = 0,6. Имеется три коротких опциона колл на 100 акций каждый. Для хеджирования данной позиции следует купить 0,6 • 300 = 180 акций. Если це-
231
на акции снизится на 1 долл., то потери от владения акциями составят 180 долл. Но цена опциона также снизится на 180 долл. На последнюю величину снизятся убытки продавца опциона на момент исполнения.
Если цена акции возрастет на 1 долл., то доход от увеличения стоимости акций составит 180 долл., возрастут и убытки от роста цены опциона на эту же величину.
Гамма характеризует скорость изменения дельты при изменении цены основного актива ( вторая производная цены опциона по изменению цены актива):
Г = дА/dS= 4>(d)/SQOJf ; V2ji
Необходимость использования гаммы связана с тем, что дельта отражает изменение цены опциона при малых изменениях цены акции1. Гамма позволяет более обоснованно определить цену опциона при изменении цены акции:
C1 = С + А • (S1 — S0) + 0,5Г • (S1 - S0)2,
где C1 — цена опциона при цене акции S1.
Tema показывает скорость падения цены опциона на каждый день приближения срока истечения контракта:
0 = (дС/дГ)/253 = (-S0W 0/2VT- rXe-rtN(d2))/253.
Po характеризует изменение цены опциона при изменении процентной ставки:
р =100 • dC/dr.
Вега. Вега характеризует изменение цены опциона при изменении стандартного отклонения на один процентный пункт:
Л = dC/do,
Л = 4*(d)So.
