Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что вероятность одного успеха равна 0,6. Это значит, что вероятность достижения ценой уровня S2 составит 0,6 • 0,6 = 0,36. В данном случае используется правило нахождения вероятности свершения двух совместных событий.
Вероятность прохождения каждого из двух путей, ведущих к уровню Slul, равна 0,6 • 0,4 = 0,24. Но так как таких путей два, то вероятность попадания в точку Sud удваивается, т. е. она равна 2 • 0,24 = 0,48.
Две неудачи ведут к уровню Sj, вероятность его достижения 0,4 • 0,4 = 0,16. Полная вероятность равна 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1.
Ожидаемый уровень цены актива на конец второго периода может быть определен сумой произведений отдельных значений цен на вероятности этих значений:
ОД = 2•V Prn (18.26)
где Sf — величина цены актива /-го уровня на конец периода; Pr1 — вероятность достижения ценой уровня /'.
Рассмотрим расчеты цен акций и опциона на основе приведенного выше примера.
Можем определить цены акций для каждого из рассматриваемых периодов: S7 = Sd = 50 • 0,9215 = 46,075; S2d =S ¦ d2 = 50 • 0,92152 = 42,46; Su = Su = 50 • 1,085 = 54,25; S2U = Su2 = 50 • 1,0852 = 58,86; Sud = = 50 • 1,085 • 0,9215 = 50.
Зная вероятности и цены акций, можно определить цены опционов.
ПРИМЕР. Приобретается опцион пут на 4 мес, курс акции в момент заключения контракта — 50 долл., цена исполнения — 52 долл., г = 0,12, о = 20%. Разобьем данный период на два двухмесячных подпериода. На конец второго подпериода цена акции может иметь три значения: S2, Sud, S2d (рис 18.5). При цене акции S2 или 58,86 цена опциона на момент исполнения будет равняться нулю, так как опцион исполняться не будет. В Sud цена опциона опять же на момент исполнения составит 52 - 50 = 2 долл., в S2 аналогичная цена опциона будет равна 52 - 42,46 = 9,54 долл. Теперь осуществим движение в обратном направлении — к моменту заключения опционного контракта. В конечном счете нам нужно найти цену опциона именно на этот момент. В указанном движении мы должны предварительно пройти через точки Su и Sd. Для этих промежуточных точек расчетная цена опциона будет равняться средневзвешенной величине из цен на момент исполнения при соответствующих ценах на основной актив, дисконтированной за один единичный отрезок. В точке S11 цена опциона составит (0,6036 • 0 + 0,3963 • 2) • е-0'12" °'167 = = 0,78 долл.
Для точки Sd цена опциона определится следующим образом: (2 • 0,6036 + + 0,3963 • 9,54) е~0Л2' 0 167 = 5,87 долл.
Теперь, осуществляя дальнейшее движение в рассматриваемом направлении, можем аналогичным образом определить цену опциона в начале периода:
р = (0,6036 • 0,78 + 0,3963 • 5,87) ^12 *0167 = 2,76 долл.
Рассмотрим общий случай определения премии опционов для двухпе-риодной биномиальной модели. Предположим, что имеется опцион колл и для всех прогнозируемых уровней цены на конец второго периода данный опцион исполняется. Его цена на начало периода:
C = {[(Su2 - X) я + (Sud - X) (1 - хг)](1 + г)"'л + [(Sud-X)n + + (Sd2 - X) (1 - Tt)](I + гГ'(1 - я)}(1 + гТ*.
Выполнив алгебраические преобразования, имеем:
С = [(Su2 - X)Ti2 + 2(Sud -X) л (1 - я) +
+ (Sd2 - X) (1 - Ji)2Kl + г)"2'. (18.27)
Многопериодная биномиальная модель. Увеличим количество временных периодов в биномиальной модели до п. Получаем графическую фигуру, называемую биномиальной решеткой или биномиальным деревом. Чем меньше длительность отдельного временного периода, тем больше ячеек содержит рассматриваемая графическая фигура (см. рис. 18.6).
Мы видим, что в полученной биномиальной решетке к каждому уровню цены (за исключением находящихся в самом верхнем и нижнем положениях) ведут несколько путей. Каждый из этих путей имеет различную последовательность повышений и спадов цены, но количество таких повышений и спадов в каждом из них одинаково, что приводит в конечном счете к одной и той же цене к концу последнего периода, т. е. получаем комбинации, называемые сочетаниями, в которых не имеет зна-
225
чения порядок элементов, в данном случае последовательность подъемов и спадов цены акции в разрезе отдельных единичных периодов. Для определения количества таких сочетаний можем использовать известную формулу биномиального распределения:
где п — общее количество попыток; Cj - количество способов достижения j успехов в п попытках; j — количество успехов.
Например, нужно найти количество вариантов получения 15 повышений цены в 20-шаговой биномиальной модели. Используем приведенную выше формулу:
20'
Г20 =___= is 505
С|5 151(20-15)! 1ЭЭЮв
т. е. имеем 15 504 комбинаций повышения цены в 15 временных отрезках при общем их количестве, равном 20; 10 повышений характеризуются 165 308 комбинациями, 5 повышений — 15 504.
При рассмотрении двухпериодной модели вероятность получения одного успеха (уровень цены Sud на рис. 18.5) мы умножали на 2, что соответствует количеству комбинаций получения одного успеха в этой модели. Если перейти к общему случаю j успехов в я-периодной модели, то количество комбинаций такого результата равно приведенному выше биномиальному коэффициенту. Вероятность отдельного пути достижения j успехов в п испытаниях равна я^(1 - л)"Ч где я — вероятность подъема цены в единичном периоде, (1 — я) — вероятность спада (величина к определяется по формуле (18.22)). Таким образом, совокупная вероятность j увеличений цены в я-периодной биномиальной модели, т. е. вероятность достижения уровня SuJ'd"-J\ будет равна:
