Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Найдем матричное представление операторов Ьх, Ьу9 Ь2И Ь2 в базисе собственных функций Ь2 и Ь2. Коль скоро такие функции, относящиеся к заданному /, образуют набор из 21 + 1 функций, преобразующихся друг через друга при действии операторов Ьх и /у можно для дальнейшего ограничиться именно таким набором, полным при заданном /. Начнем рассмотрение с матрицы ^оператора і2, для которой матричные элементы таковы:
<^/,і^2|^/,«, > = /(/ + 1)<Ф/,ф/)„,, > = /(/ +1)6|;,-. (2.2.21)
У матрицы Ь2 на диагонали стоит одно и то же число /(/ + 1), а все недиагональные элементы равны нулю, т.е. эта матрица скалярная: Ь2= /(/ + 1 )1, где I - единичная матрица порядка 21
+ 1. У матрицы Ь оператора Ь картина похожая:
<^|*<гк/,т, > = т]<Ч>1,ті\Ч>1,ті >"П]Ьд, (2.2.22)
т.е. матрица опять-таки будет диагональной, но на диагонали на сей раз стоит весь набор чисел от -/ до +/. (Например, как это обычно делают, в порядке возрастания, так что тх = -/, т2 = -I + 1, ... , и поэтому увеличению] будет соответствовать также увеличение т ).
Нетрудно заметить, что по существу здесь скрыто общее утверждение: любой эрмитов оператор представляется в собственном базисе диагональной матрицей из собственных значений.
103
С операторами Ь+9 Ь_, Ьхи ^положение будет уже иным. Используя соотношения (16) и (18), найдем (помня, что уве-личению
т на единицу соответствует увеличение у также на единицу):
= ^/(/ + 1)-/и,(т-, +1) би+1, (2.2.23)
и, аналогично, с учетом того, что а7"т ^а,*,^)*,
(ЬД.= ^/(/ + 1)-тД|лу +1)би+1. (2.2.24)
Поэтому у матрицы Ь+будут отличны от нуля элементы только на побочной диагонали, стоящей сразу же под главной, а у матрицы
Ь - на побочной диагонали, стоящей над главной диагональю:
/
О а О О О
о
ь о
о
сі
О о
ь =
о
а
О
О О Ъ О
О
О
> в • • •
О О
Матрицы Ь и Ь получаются из Ь+ и Ь обычным путем: Ь =(Ь++Ь_)/2,Ь =(Ь+-Ь_)/2/.
Пример. Пусть / = 1. В этом случае 21 + 1 = 3 и матрицы операторов углового момента при использовании формул (21) - (24) находятся без особого труда:
а 0 (Л и 0 (Л '0 0^ (0 0 0\
Ь2= 2 0 1 0 0 0 0 ; ь = 0 0 І2 0 0
,о 0 1, о 0 0 0 0 1 ,о І2 о,
(2.2.25)
и, наконец,
Ь =
0 1/>/2 0 1/>/2 0 1/>/2 0 1/>/2 0
' 0 //72 о -//72 0 ?/72
о
о
(2.2.26)
104
Собственные векторы для Ь2и Ь2, отвечающие функциям 1^! 1, г|)10 и т4>г _г соответственно, представляются в этом случае
следующим образом:
(1) (0\ (0\
0 с = 1 и с3 = 0
,0;
Вектор с =
отвечает линейной комбинации г|> = аг|>. +
Ьс =
х 2
о
о
о
о
'0^
1
ч0/
Хи
о
+ Ьф10+ с<Фі_і- Например, при действии Ъх на с2 получается следующий результат:
/л
0 Ун
что соответствует (нормированной) функции (Фід + Фі _\)/->І2 = = г|> ^ При действии же матрицы Ь на вектор с2 получается вектор, отвечающий функции ?^ф10 = -*СФід - - 'Фу Если
вспомнить представление функций г|); в сферической системе координат, то можно написать (для нормированных функций; см.
п.«§1):
так что
2\я 2
1 /3 . а(е*» -е-'ф)
(е'ф +е-'ф) 1 /3
і /• ґ\ 1/3 х
= —. — СОЗф = —
2V л 2\к г
1 ^ЫЫпф =-,/-- .(2.2.27)
2 V я 2 V к г
ж. Графическое изображение функций у т. Функции г|); т
зависят от двух переменных Ф и ф, так что они (либо их линейные комбинации) могут быть представлены графически в обычном трехмерном пространстве некоторыми поверхностями, отвечаю-
105
щими значениям этих функций при заданных &иф. Так, функция Фоо = ^1/4л вообще не зависит от этих переменных, т.е. имеет одно и то же значение для каждой пары {Ф, ф}; графически эта функция, следовательно, будет представляться сферой радиуса ^1/4к. С функциями ф1 т возникает то осложнение, что ф} 1 и ф1 _1 комплексны. Однако переход от этих функций к ф^ и фу (27) позволяет ввести вещественные функции, которые наряду с ф2 = т|)10уже могут быть представлены так, как это показано на рис. 2.2.4.
У
Рис. 2.2.4. Представление функции
Очень часто вместо пространственного изображения таких функций используют плоские сечения, отвечающие тому или иному фиксированному значению угла ф, причем в качестве такой плоскости используют ту, в которой лежит максимальное по модулю значение функции. Для функции ф0 0 в сечении (при любых фиф) получится окружность, для функции я4>,(при любом ф) - две соприкасающихся окружности, как показано на рис. 2.2.5, тогда как для функций ф^ и ф^ - такие же графики, что и для фг, но при использовании сечений плоскостями Охг и Оуг соответственно.
з. Замечания о терминологии. 1. Числа / и т обычно называют квантовыми числами, определяющими то или иное состояние квантовой системы, в данном случае, коль скоро угловой момент связан с вращением, то вращательными квантовыми числами. Такая же терминология очень часто используется и в общем случае: если квантовое состояние характеризуется некоторым набором чисел ( не обязательно целых), определяющих полностью или частично это состояние, то такие числа называют
106
квантовыми числами. Энергию системы, например, к квантовым числам не относят, однако если она для ряда состояний выражается закономерно через некоторое число (числа), то такое число относят в разряд квантовых чисел.
