Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Ь+ц^т+ = 0, L_Vfi.nL =0, (2.2.15)
а числа т и т+ должны отличаться друг от друга на некоторое целое число.
Воспользуемся для определения т и соотношениями (12). Подействуем оператором Ь Ь+ на функцию ^/,т+ , а оператором ЬЬ - на функцию ^/,т . С учетом (15) тогда получим:
(Ь2 - Ь\ - Ьг )ч> />т+ = [/(/ + 1) - т2+ - т+ ]ч> / т+ = 0,
(Ь2 Ь2)^1т_ = [/(/ + 1) - т2_ + т_ }ц1т = 0.
Это означает, что /(/ + 1) - т+(т+ + 1) = 0и/(/+ 1) - т (т - 1) = 0. У первого из этих уравнений (относительно т+) решения т-1 или т = -(/ + 1), причем второе противоречит неравенству (14). У второго по тем же причинам остается в качестве решения лишь т = -/. Таким образом, собственные значения оператора Ьг при заданном / меняются от -/ до +/ через единицу, пробегая всего 21 + 1 значений: -/,-/ + 1, ...,/- 1, /. Каждому из этих значений отвечает своя собственная функция , причем по отношению к оператору /,2все эти 21 + 1 функции являются собственными с одним и тем же собственным значением /(/ + 1).
В заключение этого пункта выясним еще, как действуют операторы Ь+иЬ на нормированные функции гр/ т. Мы уже знаем, что они переводят их в функции гр/ т+1 и гр/ т_х9 нарушая, быть может,
лишь нормировку Поэтому можно написать
*чЧ>/,т =а1тЧ>1,т+1 и Ь_Ц)1т -а,'т1|Чт-1- (2.2.16)
Действуя на обе части первого соотношения оператором Ь 9 получим ^_^+гр/,т =^та/~т+1гр/т =[/(/ +1)-т2 -т]г|)/т. (2.2.17)
При вычислении среднего значения оператора/, Ь+ на функции \р1 т
4— 1395
97
96
можно воспользоваться эрмитовостью операторов Ьг и Ь и получить
(«Ліи)*<иі < Уі,
т
> =
а
1,т
где мы учли, что (?_)+ = Ь+, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Возвращаясь вновь к равенству (17), видим, что, во-первых, а[т+ч = (а^т) и, во-вторых,
= ф(1 +1) - т(т + 1) .
(2.2.18)
Отметим также, что і+ + Ь = 2І , а потому
МЧ™ = 1+ ^/>т ==а/^'ф/'т+1 + а?А«-і- (2-2.19)
Подобное же соотношение можно написать и для оператора Ь . Таким образом, операторы Ьх и Ь переводят функцию яр/ м в линейную комбинацию (при /и = ±1) двух собственных функций Ь2 с собственными значениями /и ± 1.
Из соотношений типа (19) для Ь и Ь следует к тому же, что средние значения этих операторов на функциях, собственных для Ь, равны нулю. Действительно, коль скоро Ь2 - эрмитов оператор, его собственные функции взаимно ортогональны. С другой стороны, оператор Ьх действует согласно соотношению (19), так что
г. Векторная модель. В классической механике вектор
Ь момента количества движения (углового момента) для свободной системы не меняется во времени, т.е. сохраняет свою длину и направление при ее движении. В лабораторной (инерциальной) системе координат Охуг сохраняются, следовательно, все три его проекции. При движении твердого тела можно ввести еще одну систему координат - Ох'у'г', связанную с главными осями эллипсоида инерции этого твердого тела и называемую обычно подвижной системой. Эта система вращается вместе с твердым телом, инерциальной системой она уже не является. Возьмем ради простоты такое твердое тело, у которого два главных момента инерции равны друг другу: Іхх. = I —119 а третий момент от них отличен: / ,2,= /2. Тогда, если твердое тело поступательно не движется, а только вращается, то в лабораторной системе координат вектор,
98
направленный по оси х\ будет вращаться вокруг направления вектора углового момента/,, которое можно считать совпадающим с осью г, причем это вращение происходит с постоянной угловой скоростью ш. В этих случаях говорят, что проекция Ь2, вектора Ь прецессирует вокруг оси г (рис. 2.2.1). В более общем случае, когда все три главных момента инерции различны, ось г1 не только прецессирует вокруг оси г, но вдобавок периодически то подходит к ней ближе, то удаляется от нее, т.е. говоря тем же языком, заимствованным из астрономии и теории летательных аппаратов, ось х' совершает не только прецессию, но и нутацию (лат. пШаНо - кивать, колебаться).
Рис. 2.2.1. Классическая прецессия проекции Ьг, вокруг вектора Ь момента импульса твердого тела, совпадающего по направления с осью г.
Эти наглядные представления можно попробовать перенести на квантовомеханическую почву, хотя сделать это строго, конечно, затруднительно, поскольку приходится иметь дело не с векторами как таковыми, а с операторами и отвечающими им собственными значениями. Прежде всего заметим, что "длина вектора" Ь в состоянии, собственном для оператора ?2, равна / +1) , а его проекция на ось г может равняться любому из чисел т = -/,-/+ 1,..., /, равных собственным значениям оператора Ь2. Поскольку в этом случае длина всегда больше модуля любой из проекций /и, то вектор Ь, представляющий оператор /,, никогда
4*
99
не совпадает с осью г (рис. 2.2.2а). Каждой проекции отвечает свой угол между этой осью и направлением вектора Ь. Число различных проекций равно 2/ + 1. С другой стороны, проекции на оси х и у не только не определены, но и их средние значения равны нулю. В классической картине это может быть изображено вектором Ь, прецессирующим с некоторой частотой ш вокруг оси г, для которого средние по времени проекции на оси х иу равны нулю. Другими словами, вместо вектора Ь можно рассматривать конус, образованный этим вектором при вращении вокруг оси г (рис. 2.2.26), как раз и соответствующий прецессии вектора Ь вокруг оси г.
