Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
і ¦д
ьг = -I-.
Эф
Такое представление оператора /^отчетливо показывает, что его можно рассматривать как оператор импульса, канонически сопряженного координате ф.
Если же второе равенство из соотношений (2) умножить на БІпйзіпф, а третье- насо5т>со8ф, а потом их сложить и вычесть,
93
то после несложных преобразований можно получить еще два равенства:
... Э С08тЗс08ф Э Ь = Ц 81Пф-+
Эт> 8ШТ> Эф
(2.2.4)
т .{ д СОвОДпф Э Ь = / - С08ф-+-—-
у \ Эт> втФ Эф
Полученные выражения позволяют найти также оператор
Ь2=Ь2+ Ь2 + Ь2:
X у 2
1 э / . Э \ 1 э2
81ПТ>
^2=---1 81пт1— ]---. (1 2 5^
зшйэМ а») 5т2ФЭф2 1 '
Сравнение этого выражения с Д^ в гамильтониане (2.1.5) показывает, что они совпадают друг с другом, так что Д0 есть не что иное, как оператор квадрата момента импульса частицы.
Операторы Ьх, Ьуи Ьх, а также I,2 зависят только от двух угловых переменных г> и ф. При выводе выражений (3) и (4) первое из соотношений (2) нам даже не понадобилось.
б. Коммутационные соотношения. Как показывают равенства (1), операторы Ьа(а = х, у, г) и Ь2 удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
ььу-ььх = 1Ь2,
^Л-^Л = ^; (2.2.6)
ЬЬх-Ьр = 1Ьу ; Ьр -Ь2Ьх = ЬуЬ2 -Ь2Ьу = ЬЬ2 -Ь2Ьг = 0. (2.2.7)
Следовательно, все операторы Ьа коммутируют с Ь2, но не коммутируют друг с другом.
Рассмотрим теперь собственные функции этих операторов. При этом проще всего начать с собственных функций оператора Ь\
Эф
где т - собственное значение. Это равенство показывает, что
фт(Ф)= е™\ (2.2.8)
и ддя того, чтобы выполнялось условие цикличности фт(ф + 2л) = фт(ф),
необходимо потребовать, чтобы т было целым (положительным, отрицательным или нулем). Непосредственная проверка позволяет убедиться в том, что эта функция при действии оператора Ь2 переходит в ту же функцию с собственным значением т2/$т2-& ,
зависящим от угла т>.
Для операторов Ь иЬ эта функция собственной уже не будет.
х у
Интересно, однако, что из операторов Ьх и Ь можно построить такую линейную комбинацию аЬ + ЬЬ , которая переводит функцию фт(ф)
х у
вновь в собственную функцию для оператора Ьх. Для этого достаточно положить а - 1, Ь = ±/, т.е. определить два оператора:
Ь =Ь +1Ь и!-1-а. (2.2.9)
+ х у - х у х/
Действительно, возьмем функцию /,+фт(ф) и подействуем на нее оператором Ь2. Тогда с учетом коммутационных соотношений (6) будем иметь:
^ [/,»)] = ьг(ьх + й.;фв(Ф) = [(ьх + и)^ + ох + х )]Ф>) =
= Х+(Х + 1)ф» = (т + 1)(Х+фт).
Следовательно, функция ?+фт-собственная для/,2С собственным значением, на единицу большим, чем у фт. Аналогично можно показать, что оператор Ь переводит функцию фттакже в собственную для оператора ?г, но с собственным значением, на единицу меньшим. Вспоминая то, что было сказано при рассмотрении задачи о гармоническом осцилляторе (гл. I, § 5), можно сразу же сказать, что операторы Ь+ и Ь суть операторы повышения и понижения соответственно.
Эти операторы могут заменить Ьхи Ьуъ четверке операторов момента Ьа (а = х, у, г) и Ь2. Коммутационные соотношения для них с оператором Ьгмь\ только что нашли:
ЬЬ -ЬЬ=ь,
(2.2.10)
Ы -Ь Ь =-Ь .
С оператором /,2они, очевидно, оба коммутируют. И наконец,
ЬЬ -ЬЬ= 2Ь2. (2.2.11)
Отметим еще очень интересные соотношения следующего вида: ЬЬ =(Ь +1Ь)(Ь -1Ь) = Ь2+Ь2-1(ЬЬ -ЬЬ) =
+ - ^ X у/У* у' х у ^дгу ух'
= Ь2 + Ь2 + Ь2-Ь2 + ь ,
х у г 2 21
95
94
которые приводят к следующим двум соотношениям:
Ы = Ь2-Ь2+Ь9
+ -
- +
в. Собственные функции. Коль скоро операторы Ьги Ь2 коммутируют, у них всегда может быть выбрана общая система собственных функций, что было доказано выше (см. п. г § 4 гл. I). У оператора Ь29 коль скоро он совпадает с Дл , собственными
функциями, как показано в § 1, будут
Ч>/,« =©/(^)Фт(ф)= ^ЯР/ (с08»)фя(ф),
причем В{ т - нормировочный множитель, а Р/^созв*) - присоединенный полином Лежандра. Эти функции будут одновременно и собственными для Ьг, если вместо линейной комбинации экспонент е1тЦ) и е~1т использовать только одну из них, например еЫц),
(как то было введено в § 1). Тогда:
ь^1т=1(1+щ1т,
ьАт=т%т- (2-2лз)
Оператор Ь2 представляет собой сумму трех неотрицатель-
2 2 2
ных операторов: Ьх9 Ьу иЬ2. Поэтому среднее значение этого оператора на любой нормированной функции ч^ф) всегда больше или равно среднему значению одного из них, скажем Ь\ :
<^\Ь2\Ч>> = <^\ ь2х + ь2у + ь\ |ч>> =
= <ч*| ь\ \9> + <&\ Ь2у \ч> + <4\ Ь\ \4>ъ<4\ ь\ |ф>,
поскольку первые два слагаемых в левой части неравенства неотрицательны. В частности, если в качестве ч^ф) взять функцию
Ц)[т , то приведенное неравенство будет означать, что
/(/+ 1)ат2. (2.2.14)
Подействуем теперь на функцию Ц)[ т оператором Ь+. При этом она перейдет в функцию \р1 т+1 (после дополнительной нормировки, если в этом есть необходимость). Последовательное применение операторов /сбудет постепенно увеличивать собственные значения 1,2на получаемых функциях. Но рано или поздно т
достигнет такой величины, что для этого т неравенство (14) будет выполнено, тогда как для т + 1 оно уже будет нарушено. Обозначим такое собственное значение оператора через т+. Аналогично, действуя последовательно оператором Ь 9 можно получить функцию с минимальным собственным значением т_9 при дальнейшем действии на которую оператором Ь должно было бы получиться собственное значение т - 1 , нарушающее неравенство (14). Следовательно, коль скоро неравенство (14) таких нарушений не допускает, должны быть справедливы соотношения
