Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
V\
о и=з W \ I 1 1 1
У 8-7-6-5-4-3J 2-1-
w
-<> 0
Т _—
i, X
Рис. 1.2.2. Прямоугольный потенциальный ящик. Для первых трех уровней энергии представлены также волновые функции.
30
где L - некоторая постоянная, определяющая "длину" ящика. В областях х < хх и х > х2, как следует из п. а, волновая функция равна нулю. В самом же ящике, коль скоро V(x) = 0, уравнение Шредингера принимает вид
1 d2ii) г -— —f = Ея|>. (1.2.6)
2m dx?
Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет в качестве частных решений при заданном ? две функции: sinKx и coskx, где к определяется при подстановке этих функций в уравнение (6): к2 = 2тЕ. Общее решение будет иметь вид линейной комбинации частных решений с двумя произвольными постоянными А и В:
гр? (х) =AsinV2m?\r + Bcos^lmEx - (1.2.7)
Полученное решение должно удовлетворять, согласно сказанному в п. а , двум граничным условиям: \pE(-L/2) = tyE(L/2) = 0, т.е.
Asin(- kL/2) + Bcos(- kL/2) - 0 и Asiii(k?/2) + 5cos(kL/2) = 0. Учитывая далее, что sin(-a) = - sina и cos(-a) = cosa, из этих двух уравнений нетрудно получить
Asin(k?/2) = 5cos(k?/2) = 0. Так как А и В одновременно обращаться в нуль не могут, как впрочем sin(icL/2) и cos(kL/2), то возможны два случая: а) А - 0, cos(k?/2) =0 и б) В = 0 , sin(icL/2) - 0. Равенство нулю cosqp означает, что аргумент ф равен л , 2к + 1
— + ш = л;-, а равенство нулю simp приводит к тому, что
2 2
ф = = 2кк/2. Оба эти случая можно представить единообразно следующим образом: ср = таг/2, где п = 1, 2, т.е. произвольное целое число. Поскольку ф = kL/2, то сразу же получаем: таг = Lk, так что к = кп/L или, вспоминая, что к = ы2тЕ , окончательно найдем, что уравнение (6) имеет решения, удовлетворяющие граничным условиям, лишь при вполне определенных, дискретных значениях энергии:
л2 ,
Еп =^LZTn2, л= 1,2,... (1.2.8)
2mL2
Эти решения имеют вид
Л . ГСП
31
2 / 2
Низшему значению энергии Еп отвечает п = 1, так что Ех=п /2тЬ , и (см. рис.1.2.2)
I
Дискретные значения энергии часто называют уровнями энергии, или энергетическими уровнями, а низший уровень - основным. Следующий за основным уровень, называемый первым
возбужденным, имеет энергию Е2 =4к2/2тЬ2 = 4Ег и соответствующую волновую функцию (см. рис. 1.2.2):
. . 2л / 1\ . . юс /1ЛЛ.
Яр2 =Л251П — I * + =-Л251П —. (1.2.9)
Постоянные Ап остаются при этом неопределенными. Как следует в общем случае из уравнения Шредингера (1.1.12), умножение его решения на произвольную постоянную приводит опять к решению этого уравнения с тем же собственным значением Е. Это означает, что все решения, различающиеся лишь числовым множителем, отвечают одному и тому же квантовому состоянию. Обычно числовой множитель подбирают на основе некоторого дополнительного условия. Например, если вспомнить про вероятностную интерпретацию Ы , то можно ввести такое
условие: вероятность обнаружить частицу где-либо в ящике (но неважно, где конкретно) должна равняться вероятности достоверного события, т.е. 1. В нашем случае это будет означать, что
112 111
1= / |грп|2^ = Л„2 / 81п2^
-1/2 -Ц2 Ь
Воспользовавшись далее простым тригонометрическим соотношением вт2ф = (1 - соБ2ф)/2 и взяв определенный интеграл от этого выражения, окончательно получим: 1 = А2Ь I 2,такчтоАи= ^2/Ь и, следовательно,
я|)л = ^2/Ь ьт^^х + , п = 1,2,... (1.2.10)
Эти функции позволяют определить плотность распределения вероятности |я|>„|2 в каждом стационарном квантовом состоянии и, следовательно, позволяют найти средние значения координаты, импульса и других величин в этих состояниях. Так, среднее значение импульса в состоянии ф„ будет получаться как
32
<р> = U/y»ain»ndx'j / sin^ix + -li-/ —Isin — +
112
лп
-L/2
L_ 2
. d
dx
L
L_ 2
.2nn 112 .uni L\ лп/ Li, = -i—^ С sin — U + —Icos — \x + — \dx3
L -L/2
L
что после замены переменной х на переменную ф ~ —(х + —)
дает
2І
лп
<р> = - — ґзіпфсозф^ф = - — sin^
о
лп
О
= 0.
Среднее значение квадрата импульса в этом состоянии будет равно:
L/2
sm — I х + — I--sin — Х 2)
2 2 Ll? . лл/ L < р > п = — j sin-+ —
-L/2
L
2 2 L?2 2 2
L -L12 L
( *2\ . ЛП /
— - sin- X +
V dx2) L \
Зная величины <р2>п и <р>п , можно без труда найти и дисперсию распределения значений импульса в каждом квантовом состоянии яри:
Оп(р) = <(Р~ </»„)Ч =
= <р1>п-2<р<р>>п+ <р>2п=<р2>п- <р>2,
так что Оп(р) = (ли/1)2. Как показывает это соотношение, по мере повышения уровня энергии разброс значений импульса растет линейно в зависимости от п.
Не вдаваясь пока в дальнейшие вычисления различных величин с полученными функциями, отметим лишь, что для координаты, как и для импульса, <х>п = 0 , а
2
2 Л 6
12 \ к~п
Кроме того, отметим еще одно полезное соотношение:
2 2/ г
2 2 11
<Р >п<х >* =-И-
12
к2п2
1
> 4'
(1.2.11)
которое потребуется в § 4.
в. Ступенька потенциала. Рассмотрим еще одну задачу такого же типа. Пусть потенциал V равен нулю всюду при х < 0 и
