Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Принцип суперпозиции и требование линейности операторов квантовой механики, отвечающих наблюдаемым физическим величинам, весьма родственны, хотя и не тождественны. Далее мы будем широко использовать свойство линейности, тогда как принцип суперпозиции будет играть роль некоторой исходной посылки.
б. Эрмитовость операторов. Как уже говорилось в § 1, среднее значение физической величины, которой отвечает оператор А, в состоянии яр определяется выражением
< а > = ^* А\^с1х = < яр|А|яр > ,
где интегрирование ведется по всей области изменения пространственных переменных, от которых зависит функция яр. Это среднее значение наблюдаемой, очевидно, должно быть вещественным, так что
< а >* = ?\$(А\$)*(Н - < Ал^\у > = < а > .
Используемые в квантовой механике операторы, все средние значения которых вещественны, называют эрмитовыми, или самосопряженными, хотя эти два термина имеют несколько различный смысл в математике (см. заключительный пункт настоящего параграфа).
Эрмитовость оператора можно определить и следующим образом: линейный оператор А эрмитов, если для любых двух функций ф и яр выполнено соотношение
< я|)|А|ф > = < \\)\Ац) > = < Аяр|ф > = < ф|А|яр >* . (1.3.3) Следовательно, эрмитов оператор может переноситься от символа второй функции (т.е. ф) в обозначении скалярного произведения к символу первой функции (т.е. яр). При этом скалярное произведение переходит в комплексно-сопряженное исходному произведению.
43
Доказательство соотношения (3) достаточно просто. Если обозначить <яр|А|яр> через а{9 и <ф|Л|ф> через av то для функции, например, = яр + Кф, где яр и ф заданы, а к - произвольное, в общем случае комплексное число, то будем иметь:
а = <Ч?\А\Ч!> = ах + \к\2а2 + Х<яр|А|ф> + Г<ф(Л|яр>.
Перейдем к комплексно-сопряженному выражению, помня, что а* = а - вещественное число (как ах и а2):
а = а = а* + |Х,|2а2* + Х*<яр|А|ф>* + К<ф|А|яр>* = = ах + Щ2а2 + Х*<Аф|яр> + Х<Аяр|ф>, и возьмем разность двух полученных соотношений для а: О = ^(<яр|А|ф> - <Атр|ф>) + А.*(<ф|А|гр> - <Аф|яр>). Поскольку это соотношение выполняется при произвольных к, в частности, при к = 1 и при к = /, то оба выражения в скобках по отдельности должны равняться нулю:
<яр|А|ф> = <Аяр|ф> (= <ф|Аяр>*)
и
<ф|А|яр> = <Аф|яр> (= <яр|Аф>*),
что и доказывает соотношение (3),
Непрерывные функции, обладающие интегрируемым квадратом модуля, примечательны тем, что на бесконечности они должны стремиться к нулю. Для таких функций эрмитовость операторов квантовой механики может быть проверена непосредственно. Так, если ф и яр - две функции в трехмерном пространстве,
а Рх -"itid/dx - оператор компоненты импульса по оси х, то
интеграл ^ф pxtydxdydz можно преобразовать в соответствии со следующей цепочкой равенств:
* д
fff Ф* (pxty)dxdydz = - ihjjjф* —tydxdydz =
д^С
*
= ~mff(v*y) dydz + mIJJ{j~ф) ^dxdydz =
вЛГ("'Йу"ф) У^У^^fff(PxW)\dxdydz.
Здесь было использовано интегрирование по частям и учтено то, что произведение ф яр при х = ±00 обращается в нуль.
Не каждый оператор, получаемый простой подстановкой в классическое выражение операторов координат и импульсов, будет
44
эрмитовым. Простейший пример - классическое выражение хрх. При подстановке в это выражение соответствующих операторов получим, например, для среднего значения на функции у(х):
< ф| ХРХIФ > = /Ф* (*)*(- 1П %х) 4>(х)<1х .
С другой стороны, пользуясь тем, что операторы х ирх — эрмитовы, и последовательно переводя их в левую часть угловых скобок, придем к равенству
<ф|*Р*|ф> = </>х*ф|ф>
В правой части этого равенства оператор импульса действует на произведение д:ф\ что можно записать так (опуская пока множитель -Ш):
д(д:ф*) дх Эф * дф * д ч *
= — ф * +х —-— = ф * +х—— = (1 + х —)ф * .
дх дх дх дх дх
Следовательно,
<рххц>\<р> = <(-/Й + хРх)ф\ч» = гй<ф|ф> + <ф|*Рх|ф>-
Если бы в правой части последнего равенства не было слагаемого /й<ф|ф>, то оператор хрх удовлетворял бы определению эрмито-вости (3). Однако это слагаемое есть, и оно обязательно не равно нулю. Поэтому оператор хр не является эрмитовым. В операторной форме полученное соотношение можно написать так:
хр - р х = Иг.
X х
В таких случаях говорят, что операторы х и р не коммутируют, а их коммутатор хрх - рхх, обозначаемый как [х, рх]> равен Для двух произвольных линейных операторов А и В коммутатором называют оператор С, определенный соотношением
С = АВ-ВА. (1.3.4)
(Отметим, что коммутатор, поделенный на гй, часто называют квантовой скобкой Пуассона для операторов А и В). Если коммутатор С равен нулю, то говорят, что операторы А и В коммутируют. Очевидно, произведение двух эрмитовых операторов также будет эрмитовым оператором только в том случае, когда эти операторы коммутируют.
Если операторы не коммутируют, то из исходного классического выражения для физической величины надо построить такой оператор, который будет обладать свойством эрмитовости. Так, в вышеприведенном примере каждый из операторов хр и р х,
X X
взятый отдельно, не эрмитов, однако, как легко проверить, их полусумма, отвечающая тому же классическому выражению, -
