Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
«, = и;р(1|,.... Хь .... хя, о, (П-зз)
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
303
Объединяя выражения (11.27) и (11.33), а также суммируя по ячейкам, мы получим многомерное фундаментальное уравнение для приведенной вероятности р(Х\, Хп, I)- Это уравнение
можно записать независимо От того, является ли система макроскопически однородной или пет, если только размер ячеек удовлетворяет требованиям, обсуждавшимся в начале настоящего раздела. При помощи этого уравнения можно вычислять такие величины, как средние и дисперсии внутри данной ячейки, а также дисперсии величин, зависящих от состояния различных ячеек. Такие перекрестные дисперсии дают информацию о пространственных корреляциях внутри системы. Соответствующие расчеты подробно проводятся в разд. 11.8 па примере модельной системы. Наша основная цель состоит в том, чтобы проанализировать поведение флуктуации по мере приближения системы к точке потери устойчивости.
11.8. МНОГОМЕРНОЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Здесь, а также в разд. 11.9 и 11.10 изучается связь между устойчивостью и флукгуациями. Исходя из асимптотически устойчивого состояния, мы прежде всего получим информацию относительно происхождения непуассоновских свойств флуктуации. Затем будет рассмотрел предельный случай Приближения к критической точке и будет показано, что в этом пределе не-пуассоновские свойства приводят к новым и неожиданным явлениям, таким, как возникновение крупномасштабных корреляций.
Для иллюстрации этих явлений мы выбрали тримолекуляр-ную модель (см. гл. 7). В обозначениях разд. 11.7 расположенное на термодинамической ветви макроскопическое решение для данной модели имеет вид
Xt.0 = A, У(,о = 4- (И-34>
При этом принимаются граничные условия типа (7.14) или отсутствие потоков на границах. Мы будем рассматривать только случай фиксированных концентраций.
В основном будет проводиться анализ поведения решений многомерного фундаментального уравнения, соответствующего рассматриваемой модели, вблизи макроскопического состояния (11.34). Однако для сравнения сначала перечислим результаты анализа трпмолскулярпой модели, полученные с использованием формализма процессов рождения — гибели, а также в предположении о пространственной однородности флуктуации.
304
Глава 11
Предельный случай однородных систем
Пусть р(Х, У, /) —плотность вероятности в случае двух промежуточных продуктов. В соответствии с результатами гл. 10 фундаментальное уравнение для р(Х, У, Ц имеет вид
'Р(У' ')=А\р(Х-1, У,/)-р(Х, У, 01 +
+ ~(Х~ 1)(Х-2)(У + 1)р(Х- 1, У+ 1, /)-
~|/(Х- 1)УР(А', У, 0 +
+ В(Х + 1)р(Л+ 1, У- 1, /)-ВХр(Х, у, /) +
+ 1)р(Х+ 1, У, 0-Хр(Х, У, 0- (П.35)
Это уравнение можно преобразовать методом кумулянтпого разложения, описанным в разд. 10.6 при анализе модели Лотка — Вольтерра в терминах процессов рождения1—гибели. В результате получается система уравнений для средних значений X и У, а также система уравнений для дисперсий, содержащая нелинейные зависимости от (X) и (У>, Если только дисперсии имеют тот же порядок величины, что и средние значения (флуктуации не слишком далеки от пуассоновского режима), причем последние достаточно велики (X, У> 1), то уравнения для средних сводятся к макроскопическим уравнениям*). Вследствие этого уравнения Второго порядка для дисперсий сводятся к системе линейных уравнений типа (10.35), разумеется, при условии, что дисперсиями третьего и более высоких порядков можно пренебречь. Кроме того, если требуется описать лишь ранние стадии спонтанной эволюции дисперсий исходя из однородного стационарного состояния, то можно фиксировать значения <Х>, <У>, определяемые равенствами (11.34). При этом система уравнений для дисперсий сводится к линейной системе С ПОСТОЯННЫМИ коэффициентами вида (10.74).
Вводя определение матрицы дисперсий
можно получить следующую систему уравнений [233]:
^ = Г + СМ, (Ц.37)
*) Как будет показано ниже, когда диффузия играет доминирующую роль по сравнению с химическими реакциями, система вынуждена оставаться в окрестности пуассоновского режима. Пренебрегая диффузией, как это обычно делается при использовании формализма процессов рождения — гибели, мы не можем более систематически оценивать отклонения от пуассоновского распределения.
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
305
которая напоминает уравнения (10.35) или (10.74). Здесь Т ~~ постоянная матрица, равная
(2А{В-\- 1) — 2ЛВ\
И -2АВ 2Ав)' (1Ь38)
а величина С имеет структуру тензора четвертого порядка и формально может быть записана как
С = ГХ/+/ХГ, (11.39а)
Где Г — матрица линеаризованных коэффициентов детерминистической системы уравнений в отсутствие диффузии [см. уравнение (7.20)]:
( В - 1 А2 \ Г = (-Я „д.) (4-396)
и / — единичная матрица
' = (о (И'39в)
Представленная в (11.39а) операция называется внешним, или тензорным, произведением и преобразует матрицу 2X2 в Другую матрицу 2X2. В явном виде С характеризуется четырьмя индексами, и ее элементы определяются соотношением
