Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Л« ^ [4 AS ТГРТ - <г + 4 iS)] *«• (11 "61 >
Теперь можно решить уравнение (11.55) относительно M'ki-Зная м?г, из уравнений (11.56) и (11.606) можно найти Мы-
Кроме того, потребуем, чтобы существовал оператор, обратный оператору Р. Подставляя (11.56) в (11.48) и сопоставляя результат с (11.55), получим следующее соотношение между Р и ??:
? Кг&тпРтпрц == Рпрч^' рд~ (11 >57)
тп
Учитывая структуру К, заданную равенствами (11.51), попытаемся определить Р при 3?пц в форме
= С-Ярдх/-ч'хл. (4-58)
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
313
Прежде всего час интересуют стационарные решения. После несложных преобразований находим
М?/ = 8Ъ, + ^рт ? [«» (i + />- соз (( - 1)^]
к-)
(11.62а)
Диагональные элементы $кк оператора &ы [равенство (11.58) определяются выражением [см., например, (11.54) и (11.40а)
^ = ЛйХ' + ]ХЛк. (11.626)
Следовательно, эти элементы образуют тензор (2X2) X (2X2) и отражают совместное влияние химических реакций и диффузии. С другой стороны, оператор Ж представляет собой матрицу 2X2"
& = Т + Г5+8ГТ, (И.62в)
где Гг получена из матрицы Г транспонированием. Сюда входят только кинетические слагаемые, поэтому эта матрица не зависит от номера ячейки.
Отметим, что обратную операцию 3?к~к можно представить через Л* и ее скалярные собственные значения со^, и^, которые соответствуют собственным значениям рассматривавшейся в разд. 7.4 линеаризованной задачи. Выполняя соответствующие преобразования, получаем [233]
27* = [2©*^ (юк1 + щцОГ1 X
X К»*,/ X / + [Л* - (ш*, + щ,) 1] X
X [Л*-(«и*,+ «*>)/]}¦ (11.63)
Обсудим качественные особенности стационарных решений (11.62а]. Кроме члена, соответствующего пуассоповской дисперсии, М,, содержит дополнительный член, представляющий пространственные корреляции между ячейками. Чтобы определить вклады этих двух слагаемых, выделим явную зависимость от размера ячейки и затем перейдем к предельному случаю непрерывной системы. Пусть / — полная длина системы. Очевидно, размер каждой подсистемы равен 1/п = К Для каждой химической реакции, протекающей внутри ячейки, этот размер явным образом входит в кинетические уравнения для числа частиц. в случае тримолекулярнон модели имеем
(аК \ — Л I Ш ВХ V \'аТ)сь — А +~)Г~~ Л
{ М \ _ ВХ
\ (?1 Ль — Л
М\ ВХ ХгУ (П.64)
314 Глава 11 -1-
Коэффициенты \/Х и \/к2 не меняют структуру уравнений для дисперсий, однако все три матрицы Г, Т и S, определенные в разд. 11,8, должны быть определены заново следующим образом. В тех же выражениях, что и раньше, каждый символ пусть определяет не число частиц, а концентрацию. Тогда все три матрицы не будут зависеть от размера каждой ячейки. После этого решение уравнения (11.48) получается заменой S и Т в выражении (Н.62а) на KS и КТ соответственно. Ясно также, что вместо Ж следует писать Ш \S определено равенством (Ц.62в)]. Тогда соотношение (11.62а) принимает следующий вид:
- cos (1 - j) 7Г^Т] {(Г - kkA) X / + / X (Г - ^Д)}_| ё.
(11.65)
Разделим обе части этого равенства на Я2 и введем величину
"Ч*; ~" \ "К Я
=((Х1-{Х1))(Х1-(Х,))), (11.66)
где (х~) теперь обозначает концентрацию X. Определяя аналогичным образом тХр? получаем
^л^Т^^'+Т6"1' (11.67а)
где
otl = Z tCUSt' + Лi+T-cos(<~Лt?tt]X
X {<r-^)X/ + /X(r-VMr'^. (11-676)
Функция G?? зависит от n, однако можно показать, что если коэффициенты di и di остаются конечными, то в пределе непрерывной системы, т. е, при неограниченном возрастании nt ряд (11.676) сходится. Следовательно, в этом предельном случае в системе доминируют пуассоновские флуктуации, что согласуется с результатами описания флуктуации в формализме фазового пространства.
В пределе п->оо можно получить более простой результат, если учесть соотношение (11.30), связывающее частоты di, d2 и коэффициенты диффузии ии D2. Вводя матрицу
/D, О \
D-(o J- <"-68)
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное г/равнение
315
можно записать фигурирующий в множитель Г — >.*Д в виде
С другой стороны, в пределе я-^-оо вдали от границ имеем
fc (п + 1)г
или
(11.69)
Это выражение следует сравнить с собственным значением дифференциального оператора второго порядка, рассмотренного в разд. 7.4.
Наконец, нужно еще Преобразовать член пЬц в выражении (11.67а). В пределе при п -*- оо этот член стремится к /б(Г| — г2), где Ь(х)—дельт а-функция Дирака. В результате, приписывая ячейкам /, / координаты Г[, г3, когда отношение их размера к длине / стремится к нулю, имеем
mxx(ry, r2) = (x)b(r:~r2) + ]-Gxx(ri, гя), (11.70а)
где
со
X [(Г - D) X / + / X (Г - -*?-d)]~' У. (И-706)
Как уже отмечалось, влияние пространственных корреляций на данную ячейку мало по сравнению с влиянием пуассоновских слагаемых, если только размер ячейки достаточно мал. Однако если диффузионным членом можно пренебречь по сравнению с химическим членом, то ситуация может полностью измениться. В этом случае выражение для Gn принимает вид
Qtt = ? [«« Ч +1)тг^г - cos {г - J) 7Г^Г] (Г X/ + /ХП"1 ё =
= -(«+ 1)б(/(Г'Х/ + /ХГ)-1^. (11.71)
