Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Сш.рс- = 1';рбт? + О;0Гт?, (11.39г)
где б.пи — дельта-символ Кронекера.
Отметим, что для пуассоновских флуктуации можно записать
((X) 0 \ (А °\
"Ко (у>)Чо 4/ (1Ь40)
Однако, как было показано в разд. 10.6, система уравнений типа (11.37), позволяющая вычислять дисперсии, в общем случае приводит к макроскопическим отклонениям от пуассонов-ского режима. В стационарном состоянии эти отклонения определяются равенством
или, с учетом (11.36), (11.39) и симметрии матрицы Мр„
2(В— \)МХХ -\-2А2МхУ = — 2А(В-\- 1),
~ВМХХ +(В— А2— 1)МХГ + А2МУУ =2АВ, (11.41)
— 2ВМХУ — 2А2МУГ = — 2АВ.
Легко видеть, что пуассоновские флуктуации (11.40) не могут служить решением этой системы уравнений. Кроме того, по мере
М
306
Глава 11
достижения точки нейтральной устойчивости В = А2-\-1, соответствующей бифуркации предельного цикла, матрица коэффициентов (11.41) принимает вид
/ 2 А2 2 А2
. _(Лг+1> О
V 0 - 2 (А2 + 1)
Это — сингулярная матрица. Иными словами, по мере приближения к критической точке снизу стационарные дисперсии расходятся. К этому важному вопросу мы еще вернемся.
Влияние диффузии на фундаментальное уравнение
Рассмотрим более реалистическую картину процессов рождения— гибели в пространстве переменных Хи У,, Хп, У„, когда система разбита на п ячеек. Чтобы задать граничные условия, будем считать, что на границах система взаимодействует с двумя ячейками, 0 и п -\- 1, где концентрации X и У заданы и определяются равенствами (11.34). Фундаментальное уравнение для вероятности р(Х0, У а, Хь У\, Хя+ь Ул-ц. О имеет вид [233]
"+1 "I
?р(Х,-1)-(п + 2>р +
+ Е у (*' ~ !> <х' ~ 2) <у< + 1)р№ — 1. у/ + 0 —
1=0 и+1
-I
!Х;(Х;-1>У;Р +
?^0
Гп+! п+Т И
1+| п+1
+ ?(Х,+ Пр(Х,+ 1>-? Х,р +
?-0 ?=0
+ {(Хо+1)р(Х0+1, Х1~1>+(Хп+]+1)р(Хп-1,Х„+1-г-1)-
п
- (Х0 + х„+1> р + 2 № + 0 [р №-1 -1. х( + 1> +
?»1
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
307
+ Р№+1. 01-2 ?х(р} +
(=1
+ йя{(Уо+1)Р(1,о+1, У,-1) + (Ув+1+1)р(У„-1, У„+1+0--(П+Уп+[)р + ?(У;+ I) 1РСУ1-1 — 1, У,- + 0 +
+ Р(У(+1, 1)]-2 ?У(Р|. (11.42)
Здесь явным образом выписаны лишь те аргументы Р> значения которых отличаются от Хц, У а, . .. , Хп+\, УП+\- Аналогичные многомерные уравнения получены для линейных систем и систем, в которых возможны переходы между множественными стационарными состояниями [116], а также для бимолекулярной модели (10.59) [213], подробно обсуждавшейся в настоящей и предыдущей главах.
Чтобы получить замкнутую систему уравнений относительно дисперсий вблизи макроскопического состояния (11.34), уравнение (11-42) можно преобразовать так же, как и однородное уравнение (11.35), описывающее процессы рождения — гибели. Соответствующие преобразования мы не будем воспроизводить из-за их сложности, а обсудим только члены, обусловленные переносом частиц между ячейками. Конечный результат получается путем одновременного учета переноса и химических реакций. Для каждой ячейки члены, отвечающие реакциям, описываются выражениями, приведенными в цервой части настоящего раздела (см. предельный случай однородных систем).
Вклад потоковых членов в средние значения
Умножая последние два члена уравнения (11.42) на ^ (1^0^ п-\- 1) и суммируя по числам заполнения ячеек, получим
+ 9(Х,+ 1, Х,+у-1)}-2Х1Х,р}.
В первом члене можно перейти к новым переменным суммирования:
Х'] = Х1-\-\, ^_|—I. Х'1+1 = Х1+1 —\.
Если /, /— 1 или / -\- 1 Отличны от /, то оба выражения в фигурных скобках после суммирования обращаются в нуль. Таким
308 Глава 11
образом, остаются только члены
4 : 'Почт
+ + (Х; + 1) + - 2ВД+| -
-2ад_,1-й,[{^ + ,) + {Х;_,)-2(Х;)]. (11.43)
Умножим и разделим правую часть на квадрат длины ячейки, учитывая, что К = 1/п. Тогда получим
(?№1) = ?1? №+1> + №-,)"2№) (и 44>
Вторым сомножителем з правой части является известное конечно-разностное представление второй производной [208]. Первый же сомножитель в соответствии с законом Фика (11.30) представляет собой коэффициент диффузии 01 вещества Л"*при условии, что Яс=/,. Таким образом, в пределе непрерывной системы, т.е. при мы вновь пришли ко второму закону Фика, описывающему скорость переноса вещества в окрестности некоторой точки пространства. Это согласуется как с макроскопическими моделями, анализировавшимися в части 11, так и с замечаниями к разд. 11.7 по поводу перехода от фазового пространства к многомерному фундаментальному уравнению.
Вклад потоковых членов в дисперсии
Вклад потоковых членов в дисперсии вычисляется аналогичным образом. Умножим обе части (11.42) на Х;Х-и Яг У;, ... и просуммируем по числам заполнения ячеек. Введем определение [см., например, (11.36)]
МХ.Х/ = <№ - (X,)) (X, - <*,))>; (11.45)
определим таким же образом Мх(у{ и т.д. Тогда, например, для Мх1х1 при 1ф\ получаем
"ои Ьх,1 *_1
1Х1\ *-1
Х[р№_,-!, Хй + 1)+р(Хй + 1, Хк+1-1)}-
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
309
Аналогично случаю, рассмотренному в предыдущем подразделе, выражение внутри первых скобок обращается в нуль, если только/г, k — 1 или к -f 1 не равно i или /. Отсюда с учетом того, что [ф !, получаем
