Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Диаграмму на рис. 7.5(11) имеет смысл рассмотреть несколько позднее. Как показали Охмути и Николае [10|, существует минимальное значение В, ниже которого подные нелинейные уравнения кинетики тримолскулярной'модели обладают единственным решением. Следовательно, подкритические ветви бив должны «остановиться» в некоторой точке йт!П. При этом в силу известной теоремы теории бифуркаций Либо Х-^со при Втш, либо эти ветви изгибаются в направлении возрастания значений В вплоть до В-»-со. В работе Охмути н Николиса были найдены априорные границы этих стационарных решений. Таким образом, ветви должны иметь вид, который показан на
Простые автокаталитические модели
121
вв в Вс В
Рис. 7.5. Диаграмма бифуркации в одномерной тримолекулнрной модели при четном критическом волновом числе.
Сплошные и пункт ирные линии показывают соответственно устойчивые и неустойчивые решения. 1 — надкрнтическа» бифуркация. ii — подкритическаи бифуркация.
рис.7.5(П). Кроме того, как отмечал в несколько ином контексте Саттингер [350], новые ветви д и е, по-видимому, устойчивы.
При В > Вс система испытывает внезапный переход па одну из этих двух ветвей, в то время как при В < Вс имеется одно устойчивое решение, принадлежащее термодинамической ветви, и две устойчивые диссипативные структуры. В каком из состояний система окажется конкретно — зависит от начальных условий, а также ог способа изменения параметра В. Это явление весьма сходно с гистерезисом.
Случай нечетного тс
В этом случае условие разрешимости для а\ дает [см. расчеты, предшествующие уравнению (7.53)]
1l J dr sln*A = _ (_Ё1 + 2А -J) ( dr sin3A. (7.57а) 1 о 1 о
При нечетном тс оба пространственных интеграла вычисляются следующим образом:
\drsir?-j- = T,
а
dr sin3
тгяе 41
Кроме того, при помощи уравнения (7.40) можно выразить отношение с2/й через В< и остальные параметры. Подставляя эти величины в (7.57а), при В = Вс получим
л__ . н°Щ±±^1=е{т1, А, а„ ол {7,щ
122 Глава 7
Pili. 7.6. Диаграмма бифуркации в одномерной тримолекулярной модели при нечетном критическом волноьом числе. Сплошные и пунктирные линии показывают устойчивые и неустойчивые решения соответственко.
u. г — термодинамическая ветвь; 6 — Haj-крчтиччская диссипатиипан структура; в — под критическая диссииатиппэп структура: г — дисскпатявяан структура ко-цгчноб э.ччлчтуды, ноэникающая при наложении гы состояние, расположенное ча тч рмодпидмичеткий ветвк а. конечицк возмущения при Я(11[п < О < Вс-
При тс ~ ц, Bcc^ ?p, имеем
с, 3 А*1'! \ D? J
Как и в случае четного тс, функцию ^ ' ^ можно найти из уравнения (7.49). используя разложение в ряд Фурье. С учетом двух соотношений (7,48} окончательно получаем
х [г) = sin A + О [(В - ?efl. (7 -58)
Как и в предыдущем случае, для ;/(г) имеется аналогичное выражение.
Таким образом, в окрестности Bi Испытывающее бифуркацию решение определено для точек В, лежащих по обе стороны от Вс В соответствии с цитированной в предыдущем разделе теоремой новое решение устойчиво на надкритической ветви (В > Вс) и неустойчиво на подкритической ветви (В < ?t). Используя такие же соображения, как и тс, что привели к рис, 7.5(11), можно получить диаграмму бифуркации, показанную на pile. 7,6. Эта диаграмма включает возможности гистерезиса и резкого перехода на ветвь 0 для значений В. близких Вс. Охмути и Николис [10] получили выражение для х{г) па ветви д, а также поправки более высокого порядка к ветвям б и о.
7.7. БИФУРКАЦИЯ В ОТСУТСТВИЕ ПОТОКОВ НА ГРАНИЦАХ
В случае отсутствия потоков па границах независимо от четности nie справедливо равенство
Yi = 0,
поскольку в условии разрешимости (7.57а) фигурируют члены, содержащие косинус. Коэффициент y? вычисляется после опре-
Простые автокаталитические модели
123
деления! ). Примечательно здесь то, что благодаря кон-
кретной структуре 0[(г) ряд Фурье сводится к сумме вплоть до второй гармоники неустойчивой моды ш = тс, В остальном вычисления аналогичны выполненным в разд. 7.6, так что окончательно имеем
, , , ( В — В, \ Ч1 тсш . 2 В — Вс .,
..2 „2
Х ¦- ч ,-± соз 1 (759
У(г)-±(—г^) -#-ео3-^- +
+ 9 * ту Х
л30,-
Хсо.дуг_^;д.['(°^+')-*]| (7 59б)
где
Ф = ф{тс, А,-^, Вс),
Отметим, что это выражение описывает периодическую функцию с периодом 21/тс.
Как и в первой части разд. 7.6, при ф > 0 бифуркация является надкритической, причем соответствующий график аналогичен изображенному на рис. 7.5(I). При ф < 0 бифуркация будет подкритической; ей соответствует изображенное на рис. 7.5(11) явление гистерезиса. Характеристики устойчивости Ответвившихся решений будут такими же, как и в разд. 7.6.
Тернер [386] предложил приближенный метод решения нелинейных дифференциальных уравнений, позволяющий получать пространственно-периодические решения. Применение этого метода к задаче о тримолекулярной реакции в условиях, когда потоки На границах системы равны нулю, также приводит к выражениям (7.59), которые можно рассматривать как приближенное
124
Глава 7
представление «пространственного Предельного цикла». Этот метод неприменим в случае условий Дирихле, когда наличие бесконечного ряда в (7.56) «затушевывает» периодический характер главного члена, пропорционального sin(mcnr/l).
