Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
106
Глава 7
внешнее возмущение, либо как внутренние флуктуации вблизи стандартного состояния. В последнем случае нашей задачей будет не вычисление априорной вероятности такой флуктуации, а скорее отыскание ее временной эволюции, определяемой свойствами системы. ( Линеаризованную систему Относительно переменных х, у_ удобно записать в виде
при условиях или
х=>ц = Ъ на 2 (7.19а)
п-Ух=п-У(/ = 0 на ?. (7.196)
Здесь совокупность чисел л:, у рассматривается как вектор ^ ^ ^
в соответствующем пространстве, После ряда преобразований можно найти следующую форму линеаризованного оператора Ь:
_ҐВ-1 + 0,Уг А2 \
Ь~{ -В -А'+й^2)'
(7.20)
Этот оператор является параболическим [363]. Чтобы проанализировать асимптотическое поведение решений системы (7.18) прн г-^-оо, достаточно найти собственные значения <ат и
собственные векторы оператора Ь:
/В-14-0^ А2 \{"м\ (ит\
{ „в -^ + о^А,тН^) *7"21>
при условиях или
uZ = vl=Q (7.22а)
п-У^ = п-У^ = 0. (7.226)
Искомое решение ( 1 выражается через ( ™ ) следующим образом [см. уравнение (6.19)]:
Простые автокаталитические модели
107
Таким образом, стандартное состояние (Л, В/А) асимптотически устойчиво, если при всех m собственные значения ют удовлетворяют условию
Retom <0.
Если же при некотором m выполняется обратное соотношение (Кеш.-ч^О), то принадлежащее термодинамической ветви решение неустойчиво. В соответствии с теоремой Лерея —¦ Шауде-ра (см. разд. 6.6) при Re сот = 0 имеет место бифуркация, если соответствующее собственное значение имеет нечетную кратность. Мы будем в основном рассматривать простыв собственные значения.
Чтобы яснее представить подробности соответствующих расчетов, в данной главе мы обсудим случай одномерных систем (системы с более высокой размерностью рассматриваются в гл. 8). Отметим, что анализ будет проводиться для ограниченных сред. Одной из причин этого является то, что в химии и еще в большей мере в биологии границы, например, мембраны, играют очень важную роль. Другая причина связана с упрощением математического анализа, поскольку в пространстве конечных размеров спектр оператора L является дискретным, что позволяет построить аналитические выражения для решений нелинейных уравнений выше точки появления неустойчивости.
Пусть /—размер системы. Оператор Лапласа приобретает вид
причем его собственными функциями являются определенные тригонометрические выражения. Поскольку V2 — единственный дифференциальный оператор, фигурирующий в его собствен-( иш\
ные векторы! I, удовлетворяющие условиям (7.22), должны-иметь следующий вид:
С;Н:;Ь^ *»-'.*¦-> <™>
приграничных условиях (7.22а) и
(";ЬС;Ь*^ <«-°. и...) (7.25)
в отсутствие потока па границах. Рассмотрим теперь последовательно собственные значения, собственные векторы и структуру оператора L в пространстве квадратично-интегрируемых функций, для которых совокупность нормальных мод в уравнении (7.24) или (7.25) образует полный базис,
108
Глава 7
Собственные значения
Подставляя {7.24) и (7.25) в (7.21), можно получить характеристическое уравнение {см. разд. 6.5), в котором сот выражаются через ш и параметры системы. После ряда алгебраических преобразований получаем
< + (Рт ~ <0 »га + - атРт = 0, {7.26)
где
ат = В-1--75" Д
Рт = ^2 + ^^2.
(7.27)
г2
Решение уравнения (7.26) имеет вид
< = Т К ~ ± л/К + н.)2-^}. (7.28)
Из этого выражения можно получить следующие результаты:
1. При т-»оо имеем (ат4-рт)2-*{т4п4//4){02 —Д])2-*со. Таким образом, при конечных Л и В значения со* всегда действительны. И поскольку 02-\-0{^> \0%— значения сот всегда отрицательны. Мы видим, что не все нормальные моды играют одинаковую роль, поскольку моды, соответствующие т —> оо, стремятся стабилизировать систему.
2. Значения сот являются комплексными при
К,+ №-4А3В<0
или
В2 - 2 (Л* + в„) В + (Л2 - 6„)2 < 0, (7.29)
где ^
бт=1 + ^(01-02). (7-30)
Корни квадратного трехчлена (7.29) определяются выражением В± = Л2 + 6т ± 2Л У^.
Таким образом, должны выполняться неравенства
6Ш>0 (7.31а)
и _ _
(Л - УйтУ < В < (Л + у6ш)2. (7.316)
Из (7.31з) и (7.30) следует, что
Простые автокаталитические модели
109
_I_|_|_i , ,
О 1 2 3 4 ¦ щ
Рис. 7.1. Диаграмма линейной устойчивости, относящаяся к бифуркации периодических во времени решений.
!п — волнВвое и[гело. Вш—параметр бифуркации \т = 0, 1....). В первой точке бифуркации В, всегда возникает прост р а не гненпо-од и сродный предельный цикл,
В частности, если можно исключить значение т = 0 — например, в случае условий Дирихле — то при
комплексно-сопряженные корни отсутствуют.
3. Действительная часть комплексных собственных значений положительна, если в (7.26) коэффициент при о>ш отрицателен, или если [см. определения (7.27)]
В> Л2 4-1 + ^(0, + 02).
На рис. 7.1 показана зависимость В от ш па критической кривой
Вт = Л2 + 1 + (й1 Д- 02). (7.33)
Очевидно, что в этом случае (чисто мнимые) собственные значения ыт являются простыми. Таким образом, в соответствии с обсуждавшимися в разд. 8.6 теоремами те точки кривой В„, которые соответствуют целым значениям т, обязательно являются точками бифуркации периодических во времени решений. По мере возрастания В первая бифуркация, совместимая с граничными условиями, происходит либо при т = 0 в случае отсутствия потоков [см. уравнение (7.24)], либо при т = 1 в случае выполнения условий Дирихле.
