Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Простые автокаталитические модели
Рис. 7.11. Диаграмма бифуркации в три молекул яр ной модели, иллюстрирующая возможность вторичных бифуркаций стационарных решений, соответствующих ранее возникшим диссипативным структурам.
Пунктирными (устойчивость) ее сплошными (неустойчивость) линиями показаны возможные варнантЕ»! устойчивости различный ветвей.
при двукратно вырожденном собственном значении. Очевидно, решение этой задачи имеет вид
Коэффициенты pi и можно найти из условий разрешимости уравнений высших порядков в данной последовательности. В этом случае вследствие двукратного вырождения мы располагаем двумя такими условиями. Если только в уравнении (7.66) появляется член с рз^О, можно заключить, что имела место вторичная бифуркация. В самом деле, в этой точке решение ^ ^
«перескакивает» от члена, содержащего sin (mcnr/l), к выражению, в котором дополнительно имеется более высокая мода sin [(mc-f- 1)лг//], Эта ситуация изображена на диаграмме бифуркации, показанной па рис. 7.11. Наконец, коэффициент feo в уравнении (7.65) определяется из условий разрешимости, а
( щ \
также из условий нормировки ^ у Зная feo, можно выразить 5
через е, т.е. через (В~ВС), и тем самым оценить «расстояние» °т точки Вс, в которой имела место вторичная бифуркация.
т
Глава 7
Детальное построение вторичных ветвей в нелинейной области после вторичной бифуркации не вызывает затруднений н проводится точно так же, как и в случае исходных ветвей, так что этот вопрос мы здесь обсуждать не будем.
Отметим в заключение, что в надкритической области после первой бифуркации система проявляет поразительную множественность качественно различных решений. Эти дискретные решения возникают при переходе параметра В через некоторые критические значения. Ситуация здесь такова, что можно говорить о «макроскопическом квантовании» состояний [151]. Хотя информация об устойчивости этих состояний не полная, можно ожидать, что по крайней мере некоторые из них окажутся устойчивыми и будут «притягивать» траектории из конкретной области начальных условий. Такое свойство можно было бы рассматривать как примитивную «память», связанную со способностью системы накапливать информацию в виде начальных условий, «стягиваемых» соответствующей днесипативной структурой. Это подтверждается результатами численного моделирования, которое рассмотрено ниже.
7,10. СРАВНЕНИЕ с результатами численного моделирования
Лефевер [225] и Гершкович-Кауфман [159, 160] широко применяли методы численного моделирования для изучения тримо-лекудярной модели. Полученные результаты удивительно хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями, основанными на аналитических расчетах. Кроме того, они позволяют выяснить некоторые интересные тенденции эволюции систем 1.1 в надкритической области В ^> Вс-
Общие свойства
Рассмотрим сначала случай условий Дирихле. Численные значения Л = 2, /=1, ??т = 1,6-10-3 и О2 = 6-10-3 приводят к положительным значениям $ [см. уравнение (7,56)], что позволяет вычислить функции х(г) и у(г) при В ~> В с- Полученные таким способом решения показаны на рис. 7.12 и 7.13, где епи сравниваются с результатами численного интегрирования па ЭВМ СОС-6500. Для значений В вблизи В,- (рис. 7.12) оба решения хорошо согласуются. Здеср четко видно искажение критической моды за счет наличия бесконечного ряда. По мере возрастания г это искажение приводит к возрастанию последовательных максимумов.
При В ;> Вс (рис. 7.13) согласие между двумя подходами ухудшается. Численное решение кинетических уравнений
Простые автокаталитические модели
X.
Пространства, произвольные единицы
Рис. 7.12. Стационарная диссипативная структура а случае заданных концентраций [ш границах системы и при В ~ Ва.
Пунктиром показана аналитическая кривая, соответствующая уравнению (7.36), сплошная кривая получена и результате численного интегрироаання. Значения параметрон: Л=2, ( = >, ?>, = 1,б . Ю-1. О,=6,0 . Ю-*, Є=4,17; те—Ч и ае = 4,|ЭЗ, Граничные значения X
X
О 0,5
Пространство, произвольные единицы
Рис. 7.13, Стационарная диссипативная структура при заданны* концентрациях на границах системы и при В > Ва,
Пунктиром показана аналитическая кривая, соответствующая уравнению (7,56). Сплошная кривая получена в результате численного интегрирования. В=4,6; проіие параметры те же, что и на рис. 7,12. Граничные условия для X н ї; Х—А=2, У = В/Л = '2,3,
136
Глава 7
а о,5 1
Щостроистбо, произёвяьные единицы
Рис. 7.14. Стационарная диссипативная структура в отсутствие потоков на границах системы.
Пунктиром локазана аналитическая кривая, соответствующая ураввеаию (7.50V Свлошвая кривая яолучена ы результате чделевчого интегрирования. Значения параметров; А=-%, ( = 1. ? = 4. ?, = },6 - IU_3> D,=a,0 • 1U~3; тс = Ь, Bc=i,mi.
показывает, что имеется резкий переход в состояние, в котором значения в максимумах вблизи границ увеличены, а в минимумах уменьшены; при этом число экстремумов остается тем же. Ряд численных расчетов с различными начальными условиями показал, что этот тип асимметрии не зависит от способа начального возмущения системы. Эти результаты четко указывают на То, Что вторичная бифуркация происходит на исходной ветви, в соответствии с изложенными в разд. 7.9 аналитическими результатами. Модельные расчеты подтверждают также, что на возникновение вторичной бифуркации оказывает влияние взаимное расположение значений В, соответствующих первым последовательным бифуркациям на исходной ветви.
