Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
|/у№. П)-/у№. I'OK'CIXi-x,], 1 '
для каждого X/ = (X,-, Yi) в Г> при ^ >¦ 0. Условия (6.14) всегда выполняются, если кинетика имеет полиномиальный характер, т. е. если в равновесии отдельные стадии реакции удовлетворяют закону действующих масс.
При этих условиях важная теорема Коши и Пикара [65] гласит, что решение системы (6.13), соответствующее определенным начальным условиям в D, существует и единственно для I из ограниченного интервала (О, Т).
Чтобы лучше уяснить смысл этой теоремы, исключим t из обоих равенств (6.13). Получаем
dY iy <*¦ У)
dX — !Х(Х, У) ¦ Фло>
Решение этого (нелинейного) уравнения первого порядка дает однопараметрическое семейство траекторий на фазовой плоскости (X, У). Каждой точке на этих кривых соответствует решение системы (6-13). Таким образом, время можно использовать для параметрического представления траекторий. Кроме того, в силу георемы единственности соответствующие различным начальным условиям траектории не могут пересекаться. Другой важный вывод состоит в том, что замкнутая траектория С в плоскости (X, У) обязательно соответствует периодическому решению данной системы дифференциальных уравнений. В самом деле, из (6.13) следует, что
_ dX !Х(Х, Y, ¦
Интегрируя по замкнутой кривой С, получаем
с х
Эта формула определяет период движения по траектории С.
Характеристическое уравнение
Обратимся к уравнению (6.15). Каждой точке (X, У) плоскости соответствует определенное значение наклона dY/dX траектории, за исключением точек, где
88
Глава б
Такие точки мы будем называть особыми. Отметим, что в силу равенств (6.13) особая точка является стационарным решением дифференциальных уравнений. Все остальные точки плоскости назовем регулярными, В соответствии с изложенными ранее соображениями одна из особых точек является следствием экстраполяции термодинамической ветви в сильно неравновесную область. Таким образом, чтобы исследовать возможность процессов самоорганизации, необходимо проанализировать устойчивость особого стационарного состояния {Хо, Уо). Для этого запишем соответствующую линеаризованную систему [см., например, уравнение (6.6) |'.
-^7-= <*1 i* + 0| 20.
-?7- = <*2 \х + Ог 2у,
где
в"-(4г)*г. вт-д- <6Л7>
и
Х = Х0 + х,
У = У^У. <6Л8>
Благодаря линейности система (6.16) допускает решения вида
х = хфы, у = №?**. (6.19)
Такие решения называются нормальными модами. Подставляя эти выражения в уравнение (6.16), получим однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов г0, у0. Нетривиальные решения этой системы существуют при выполнении условия
{1еищ,~а6.,[ = 0, (6.20)
которое известно под названием характеристического уравнения. В рассматриваемом случае системы с двумя переменными Это уравнение принимает вид
где
&—Г® + А = 0, (6.21)
есть соответственно след и определитель матрицы коэффициентов.
Математический аппарат
89
В общем случае система (6,21) допускает два различных решения ш, и о)2- Поэтому решение уравнений (6.16) имеет следующий вид:
у = с}Кге^ +саК&**, К ' '
где с, и с2 определяются начальными условиями, а К| в К2, называемые иногда коэффициентами распределения [6], являются корнями уравнения [см. уравнения (6.16)]:
я1 аК2 + (й! 1 - а2 2) К ~ %, - 0. (6.23а)
Из этих выражений вытекают следующие критерии устойчивости;
Если оба корня имеют отрицательные действительные части, 1?е он < 0(; = 1, 2), то стационарное состояние (Ха, Уа) асимптотически устойчиво.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, 1?еша>0 (а = 1 или 2), стационарное состояние (Ха, У0) неустойчиво.
Если хотя бы один из корней имеет нулевую действительную часть, Кеша = 0 (с/. = 1 или 2), в то время как действительная часть другого корня остается отрицательной, то такая система устойчива по Ляпунову, однако она не является асимптотически устойчивой. В этом случае мы будем говорить о нейтральной устойчивости.
Итак, если вид уравнения (6.21) известен, т. е, если зависимость Г и А от параметров определена, то легко выяснить, какая из этих возможностей реализуется в действительности. Кроме того, при помощи уравнения (6.23) можно выяснить, каким образом возмущенная система возвращается обратно или удаляется от особой точки; различные типы поведения системы Перечислены ниже.
Классификация особых точек; простые особые точки
Оба корпп действительны: Г! — 4А ^ 0
1. Если при этом Д > 0, то оба корня ш,- имеют одинаковый знак. Из уравнения (6.23) следует, что этот случай соответствует монотонному приближению к особой точке (или монотонному удалению от нее)*). В этом случае говорят соответственно об устойчивом или неустойчивом узле. Поведение траекторий в этих случаях представлено на рис. 6.1.
*) Отметим, что на конечном интервале времени поведение системы может быть все-таки немонотонным. Такая ситуация может возникнуть при Противоположных знаках с1 и са (или /(, и Кг).
99
Глава 6
Рис. 6.1. Асимптотически устойчивый узел (в) а асимптотически неустойчивый узел (б").
Рнс. 6.2. Асимптотически устойчивый звездообразный узел {а) и ясиипготг-чески неустойчивый звездообразный узел (б).
