Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Простейшей иллюстрацией представления о структурной устойчивости служит движение маятника. Обычной математической моделью этой системы является гармонический осциллятор, характеризуемый бесконечным набором траекторий, непрерывно зависящих от начальных условий. В природе, однако, маятник никогда не является гармоническим осциллятором, поскольку он всегда испытывает трение. В результате система постепенно переходит в единственное равновесное состояние, достигаемое раньше или позже в зависимости от величины трения. Отсюда можно заключить, что соответствующие гармоническому осциллятору уравнения являются структурно неустойчивыми по отношению к трению. Следовательно, для работы часов необходима внешняя движущая сила, компенсирующая влияние трения.
Структурная устойчивость играет важную роль в радиотехнике. Яркое описание конкретных задач, в которых фигурирует структурная устойчивость, можно найти в книге Андронова, Витта и Хайкина [61. Позднее Том [373] обратил внимание на общий Характер и важность этого понятия. К вопросу о структурной устойчивости мы будем возвращаться в гл. 6 и части V.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ГЛАВА 6
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Решение уравнений диффузии с учетом химических реакций (5.3) и (5,4) представляет собой очень трудную задачу, что обусловлено прежде всего нелинейностью функций, описывающих скорости реакций, С другой стороны, из проведенного в части I термодинамического анализа следует, что важнейшей общей чертой широкого класса процессов самоорганизации является потеря устойчивости термодинамической ветви и последующий переход к устойчивым диссипативным структурам. В точке изменения устойчивости в результате ветвления должны возникнуть по меньшей мере два решения, соответствующие термодинамической ветви и диссипативной структуре.
В настоящее время существует ряд математических методов, позволяющих исследовать такие нелинейные явления. Мы обсудим два из них, наиболее удобные при анализе образования упорядоченных структур в биологических приложениях: теорию бифуркаций и теорию катастроф. Эти теории соответствуют двум различным способам обобщения работы Пуанкаре, который первым создал прочную основу качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений. Будет рассмотрен также еще один математический метод — теория устойчивости, которая во многих случаях является альтернативой теории бифуркаций.
6.2. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
Как неоднократно отмечалось, правая часть уравнения (5.3) зависит от совокупности параметров X. Допустим, что мы выбрали X так, что при достаточно малых X и при наличии не зависящих от времени внешних ограничений эти уравнения При (^»-оо имеют единственное физически разумное (т, е. положительное и ограниченное) решение. В соответствии с термодинамикой необратимых процессов такое решение обязательно лежит на термодинамической ветви, В дальнейшем изложении принимается, что принадлежащие этой ветви решения гладко зависят от параметра X,.
Математический аппарат
81
Далее, при некоторых критических значениях К принадлежащие термодинамической ветви решения могут стать не единственными и даже неустойчивыми. При этом в окрестности таких критических точек система может перейти в новое состояние, для которого характерна пространственная или временная упорядоченность. Тогда мы будем говорить, что в такой критической точке произошла бифуркация решения, принадлежащего термодинамической ветви*). Вообще говоря, можно ожидать, что в ближайшей окрестности ).с новое решение будет зависеть От К неаналитически.
В задачу теории бифуркаций, созданной Пуанкаре, а затем развитой Андроповым и его школой, Хопфом, Красносельским и другими учеными, входит разработка методов, позволяющих: а) строго показать существование ветвления решений при определенных критических значениях Хс и б) найти (хотя бы Приближенно) аналитические выражения для определенных важных типов решений, возникающих в точках бифуркации.
Непосредственная иллюстрация этого подхода дана с помощью модели, допускающей аналитическое решение (см. гл. 7), Здесь же мы обратимся к концепции устойчивости, которая довольно часто используется в данной книге и которая теснейшим образом связана с самим существованием явления бифуркации.
6.3. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
В гл. 5 уже приводилось математическое определение устойчивости. Здесь нам хотелось бы кратко описать ряд методов, позволяющих выяснить устойчивость решений дифференциальных уравнений.
«Принцип» устойчивости линеаризованной системы
Поскольку обычно интересуются устойчивостью конкретного решения уравнения (5.3), часто бывает удобно изучать поведение этих уравнений вблизи конкретного стандартного состояния {Хц,(г, г)}. Можно также рассматривать {Х01} как невозмущен-иое решение, постоянно возмущаемое внешними воздействиями или внутренними флуктуациями на величину я,-(г, г). В результате вместо {Ха,} возникает новое решение:
Х( {т, г) = Х01(т, () + хАг, I). (6.1)
*) Отметим, что уже само появление бифуркации предполагает нелинейную кинетику — в противном случае уравнения имели бы единственное решение.
