Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
399. Van Kompen N. G„ Adv. Chem. Phys., 34, 245 (1976).
300
Список литературы
400. Venieratos D., These de troisieme cycle, University oi Paris VII, 976. 401 Volterra V., Lecons sur la Theorie .Mathematique de la Lutte pour la Vie, Gauthier-Villars, Paris, 1936.
402. Wall Adv. Morphogen., 10, 41 (1973).
403. Waiter Ch., J. Theor. Biol., 23, 23 (1969).
404. Walter Ch., J. Theor. Biol., 27, 259 (1970).
405. Уотсон Дж, Молекулярная биология гсвэ, M., Мир, 1967.
№6. Wax N.. Selected Topics in the Theory of Noise and Stochastic Processes, Dover, New "York, 1954.
407. Wilby O. /<., Webster C, J. Embryol, Exp. Morphol., 24, 583 (1970).
408. Wilson И, in «Cooperative Effects*, North Holland, Amsterdam, 1974.
409. Wilson K. G., Physica, 73, 119 (1973).
10. Wilson E. О., The Insect Soc'eties, Harvard U. P., Cambridge, 1971.
411. Wilson E. O, SociDbiDlDgy, Harvard U. P., Cambridge, 1975.
412. Winfree A. T, J. Theor. Biol., 16, 15 (1967).
413. Winfree A. T., J. Theor. Biol., 28, 327 (1970).
414. Winfree A. T., Sci., 175, 634 (1972).
415. Winfree A. T., Sci., 181, 137 (1973).
416. Winfree A. T., in Proc. SIAM АЛ15 Syuip. Appl. Math., Vol. VIII, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1974.
417. Winfree A. T., Sci. Amer., 230 (6), 82 (1974). 418 Winfree R. T, Physics Today, 28, 34 (1975).
419. IPoiperi L., J. Theor. Biol., 25, 1 (1969).
420. Wolpert L„ Curr. Top. Dev. Biol., 6, 183 (1971).
421. Wolpert L., Adv. Chem. Phvs., 29, 253 (1975).
422. Wyman /., J. Mol. Bioi., 39, 523 (1969).
423. Zaikin A. N.. Zhabotinski A. Al„ Nature, 225, 525 (1970).
424. Зайцев В., ШлЫис Ж, ЖЭТФ, 32, 866 (197J).
425. Zettlemoyer А. С. (ed.), Nucleation, Dekker, New York, 1959.
426. Жаботинспий A. M., Биофизика, 9, 306 (1964).
427. Жаботинский A. Al., Концентрационные автоколебания, М., Наука, 1974.
428. Zofirj А. /., Zotma R. S, J Theor. Biol., 17, 57 (1967).
429. Zubuy G., Schwartz D.. Beckwith !.. Proc. Nal. Acad. Sci (USA), вб, І04 (1970).
430. Zubov V. J., Methods oi A. M. Lyapoanov and Iheir Applications, U. S. Atomic Energy, 1961.
431. Erneux Th. HerschkovDitz-Kaafman Al., Bull. Math. Biol. (1978), в печати. 432 Yamazaki 1., Fujita Al., Baba H, Photoch. and Photobiol., 23, 69 (1976). 433. Siegeri A. J. F., Phys. Rev., 76, 1708 (1949).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Большинство полученных в этой книге аналитических результатов, относящихся к возникновению упорядоченности, основаны на приближенном решении диффузионно-кинетических уравнений с помощью соответствующего разложения по малым возмущениям. Очевидно, что более строгие результаты позволили бы рассматривать различные вопросы, касающиеся произвольных отклонений системы от точки первой бифуркации.
Один из наиболее сложных вопросов связан с возможностью полного исследования бифуркационных диаграмм рассматриваемой диффузионно-кинетической системы, включая устойчивость ветвей, возникающих в результате бифуркаций более высокого порядка. Эту программу удалось выполнить в рамках некоторого предельного варианта тримолекулярной модели.
Рассмотрим уже известную схему (7.10), в которой опущены члены, соответствующие поступлению Л и распаду X. В отсутствие диффузии такая система является замкнутой относительно массопереноса X и У. Тем не менее включение диффузии позволяет моделировать открытую систему, если только граничные уеловия допускают возможность ненулевых потоков X и У. Тогда динамические уравнения примут следующий вид (предполагается, что среда однородна, причем размер системы I принят равным единице):
где
Щ- = !(Х,У) + 02^, ?(Х, У) = Х2У-ВХ
0)
Г(0) = У(1) = В/|.
Вводя новые переменные
12} =
Г -
Х-1, г'
(2)
(3)
502
Приложена
из этих уравнений можно получить одно соотношение, описываю^ щее стационарное состояние:
Здесь К— постоянная интегрирования, а функция F(ц^) имеет следующий вид:
К* -&)-'+(в? - О <5'
Решения уравнения (4) выражаются через эллиптические функции. Для этих решений характерны такие же особенности бифуркаций и пространственные зависимости, как и в разд. 7.6. Отличие состоит лишь в том, что теперь амплитуды и период решения, а также вид бифуркационной диаграммы рассчитываются без привлечения методов теории возмущений. Кроме того, в частном случае ?>[ = В% удается точно вычислить собственные значения для уравнений, линеаризованных вблизи пространственно-зависимых решений уравнения (4), поскольку они определяются уравнением Ламз.
Следует отметить еще одну особенность стационарных решений. Прежде всего, запишем уравнения (1) следующим образом:
~г = -1ХЧ(Х,Г). (6)
В таком виде по своей структуре эти уравнения аналогичны уравнениям классической динамики, в которых время заменено пространственной переменной г. Следовательно, явления типа образования пространственных диссипативных структур можно рассматривать как аналог возникновения периодических траекторий, которые, как хорошо известно, описывают движение некоторых классов динамических систем.
Наконец, в литературе неоднократно отмечалось |237, 282], что в системах нелинейных дифференциальных уравнении стремя и более переменными становятся возможными бифуркации нового типа, приводящие к «странному притяжению». Возникающее при этом случайное, хаотическое поведение может оказаться общим свойством сложных реакционных схем. В этом плане нелинейные законы, определяющие возникновение упорядоченности вдали от равновесия, могли бы относиться хотя и к небольшому, но чрезвычайно важному классу систем! Положение здесь до некоторой степени напоминает статус интегрируемы* систем уравнений классической механики [262], которые,будучи чрезвычайно важными сами по себе, описывают, тем не менее, динамическое поведение особого типа.
