Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций комплексного переменного. Комплексный потенциал и сопряженная скорость
Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу. Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны, будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая, конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости, бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения, толщины. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндрического тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении оси Oz.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа, которое для плоского случая имеет вид:
^ = -0 + 5- = °- (22)
Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным на бесконечности потоком со скоростью V00 будут состоять из условия непроницаемости границ тела:
Vn = ^t=O на контуре тела С (23) g J)7| ПЛОСКОЕ БЕЗВЙХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЙ 223
и условий на бесконечности:
U = -^-=VcoZQS, O00, « = = IZcoSinOco, (24)
где Dot__- угол между вектором скорости Vco и осью Ox.
Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана, и решению ее посвящены многочисленные математические исследования. В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее мощного метода решения этой задачи — метода теории функций комплексного переменного.
Из уравнения неразрывности
-"V = SKg = O (25,
вытекает, что всегда можно найти функцию §(х,у), тождественно удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями скорости UHV равенствами:
дФ di/ mm
действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает его в тождество. Функция Ф (х, у) имеет простой гидродинамический смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока {формула (34) гл. I]
tlx _ dy
и V
и подставим в него значения проекций скорости по (26), тогда будем иметь:
dx _ dy
д'ЬІду —di>jdx
или
Из последнего равенства следует, что функция *|> сохраняет постоянное значение вдоль линий тока, иными словами, семейство линий уровня функции ^ •
Ъ(х,у) = С (27)
представляет совокупность линий тока. Функция ^ (х, у) в связи с этим называется функцией тока.
Проведем в плоскости течения контур M0Mi (рис. 54) и вычислим секУндный объемный расход Q (отнесенный, конечно, к единице длины направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это 224 плоское безвихревое движение жидкости [гл. v
сечение; будем иметь (пх, пу— направляющие косинусы нормали п к элементу 8s):
M1 M1 M1
Q = f VnZs= (unx-\-vny) Is= ^ {ubs . ¦ п,) =
Mn Mtl M1
= (и by-V йх),
Hlv
или по (26):
M1 M1
Q= [(fjr^+S8*) = f 54- = 4- (28)
M1, ' M0
Следовательно, разность значений функции тока в двух каких-нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.
Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограниченная двумя линиями тока, например, проходящими через точки Af0 и m1
Рис. 54.
на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованную двумя цилиндрическими поверхностями, тока, имеющими в качестве направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих — перпендикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными координатной плоскости хOy и отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице длины. йлоское ёезвихревое движение
225
Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую-нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая
JO==O,
что можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то можно сказать, что значение константы в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал скоростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств
U==W vassW (29)
и выражения (26) тех же проекций через функцию тока будем иметь следующую систему соотношений:
