Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
z= ~wlag = ^rlnz- (42)
Заметим, что как к случае источника (сі ока), мак и в случае
вихря распределение скоростей по абсолютной величине отвечает формуле
I или |ц=т,
т. е. величина скорости обратно протрциональна расстоянию от источника или вихря. В начале координат, где исі очник или вихрь расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или вихря называют гидродинамическими особенностями потока. В дальнейшем нам придется иметь дело и с другими „особенностями" потока: диполем, вихреисточником.
Рассмотренные только что течения являются безвихревыми движениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения, исключая начало координат, которое является особой точкой, выполняются соотношения:
ди _dv_q HE-iUlL__о
ду ~дх ' дх ' ду '
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием. В начале координат производные приобретают бесконечные значения.
Если источник (сток) или вихрь находятся не в начале координаг, а в некоторой точке M0 с комплексной координатой г0, то выражения характеристических функций будут:
источник (сток):
-/Xz) = {г-z0), (41')
вихрь
y(z) = ^(z-.z0). (420
Рассмотрим, наконец, случай комплексного коэффициента при Логарифме, а именно:
X(Z) = (A +Bi) In z; 236
, плоское безвихревое движение жЙдкости ,
[гл.
где А и В—действительные величины. Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения друг на друга двух потоков с комплексными потенциалами:
Ул (2) = Ainz,
У.ъ (z) = ln z>
т. e, наложение на источник (сгок) вихря. Сложное движение, составленное из этих двух движений, представляет течение жидкости вокруг вихре источника (вихресгока) со^ спиралевидными линиями
тока (логарифмическими Vy спиралями), показанными / на рис. 64.
/ Если, вообще,
7 (г) — Ъ (г) Ч • 7Й (?)>
т о в составном потоке комплексный вектор скорости будет равен сумме комплексных векторов скоростей слагаемых потоков V1 и Vs. Действительно,
= Vr1 + V2,
V= — = — -4- — =
dz dz ' dz
Рис. 63.
а следовательно, переходя от сопряженных комплексов к основным, получим:
V=V1^V2.
На этом основан простой графический прием построения линий тока сложного потока по линиям тока слагаемых потоков.
Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока двух слагаемых потоков: tyt, tyt 4- Aty1 и ty2, ty2-J- M2, пересекающихся под некоторым углом, причем предположим, что эти линии тока проведены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были одинаковы, т. е. Aty1 = Aty2; отсюда, конечно, не следует, что расстояния между линиями тока в каждой из двух пар должны быть равны между собою. Можно лишь утверждать, что, если MN1 J_ Vi
и MN' J_ V* то ___
MNi -I ViI = MNf- j V81. ^ .^8j построение простейших полей течениЯ 235
/ I
С другой стороны, площадь малого параллелограма MM M1M1 равна одному из следующих равных между собою выражений:
MN1 • MM' = Ш' • MM1.
Деля обе части этого равенства соответственно на обе части предыдущего, получим
MM': I V11 = MM1: | Vs |,
откуда следует, что отрезки MM' и MM1 в некотором масштабе выражают скорости или элементарные перемещения частиц слагаемых движений. Проведя диагональ MMi параллелограма MM MiMit получим в том же масштабе величину и направление скорости V, или элементарного перемещения сложного движения. Отрезок MMі вместе с тем дает элемент дуги линии тока <j> = const сложного движения.
Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока сложного движения. Единственную трудность представляет выполнение построения сеток линий тока слагаемых движений, удовлетворяющих условию одинаковости расхода.
На рис. 64 приводится построение линий тока в случае вихре» источника или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие из центра, проведены друг по отношению к другу под углами в 10°, расстояния между окружностями (линиями тока вихря) подобраны так, чтобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями были равны между собой и одинаковы с расходами между двумя смежными линиями тока источника.
Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь. Возьмем на положительной части оси х источник мощности q, находящийся на расстоянии h от начала координат, и эквивалентный ему по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с отрицательной стороны оси х. Комплексный потенциал такой системы источника и стока будет, очевидно, равен
x==sJLln(z — h)—?ln{* + h).
Если, сохраняя неизменным q, устремить h к нулю, то сток поглотит жидкость из источника и никакого движения не произойдет. Поступим иначе: устремив h к нулю, одновременно будем увеличивать q до бесконечности так, чтобы произведение мощности q на расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным некоторой величине т:
Iim q • 2h = т. h -> о 236 , плоское безвихревое движение жЙдкости , [гл.
