Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
А А
В В
= Г asds = Г (ах dx-f-aydy-\- ае dz). (78) І І
Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому в этом случае контуру будет обозначаться так:
Г (a) = (^ а • dr = ^asds и т. п.
(79)
Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользоваться в теоретической механике при вычислении работы, равной циркуляции силы.
В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе положительного направления интегрирования вдоль контура. Для этого
рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С (рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность о, опирающуюся на этот контур. Будем различать у поверхности о две стороны, например, выпуклую и вогнутую. Одну из них, на рисунке выпуклую, выберем произвольно за положительную и условимся в ту же сторону откладывать и положительное направление нормали к поверхности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление § 13J ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУВКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
75
П«П'*0
нормали к ней, примем за положительное направление обхода по контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль положительной нормали, при обходе контура поверхность остается слева.
При рассмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно дать более простое правило: положительное направление обхода плоского контура совпадает с направлением вращения головки винта, когда сам винт перемещается в направлении положительной нормали к плоскости контура.
Чтобы установить связь между интенсивностью вихревой трубки в поле вихря некоторого вектора и циркуляцией этого вектора по контуру, возьмем сначала плоский малый контур AC (рис. 19) с площадью До и построим на нем цилиндр, высота которого h также мала. Применяя к этому цилиндру интегральное определение вихря (72), получим:
П«П'
rota =
im 4- X и'
= Iim
Дт
Xa da,
Рис. 19.
причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверхность цилиндра.
Проектируя обе части этого равенства на нормаль п к элементу До, получим:
(rot а)я = Iim JL U. (n' X a) da.
Ат-*Оат J
Согласно известному свойству тройного произведения
п.(п'Ха) = а-(пХп,)>
позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно полученное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде
(rot а)„ = Iim J- Г а - (n X п') da.
Дт О •>
Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком пре-а» может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно. 8
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. I
Заметим для этого, что вектор n X п' не равен нулю только на боковой поверхности цилиндра, причем для заштрихованного на рисунке элемента этой поверхности будет:
(п X п') do —(п X n') hds = h dr;
тогда найдем (е — малая величина, стремящаяся к нулю при уменьшении До)
(rot а)п = ^ а • dr • h -J- є,
AC
откуда следует
(rot а)„ До = ^ а • dr -J- е До, (80)
AC
т. е. с точностью до малых высших порядков поток вихря вектора через площадку До равен циркуляции вектора вдоль контура, ограничивающего эту площадку.
Из формулы (80) предельным переходом можно получить следующее интегральное представление проекции вихря вектора на любое направление
(rota)„= Iim J- \&'dr, (81)
%
где Да — некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к направлению п, а ДС—окружающий ее контур.
' Пользуясь этим определением, легко вывести формулы проекций вихря на оси декартовых или криволинейных координат, непосредственно вычисляя контурный интеграл по сторонам координатных элементарных прямоугольников и переходя затем к пределу.
Возьмем теперь какой-нибудь себя не пересекающий контур С конечной длины и опирающуюся на него разомкнутую поверхность о (рис. 20). Разобьем поверхность о Рис. 20. на большое число малых площадок До про-
извольной формы и, написав для каждой такой площадки равенство (80), просуммируем обе части этих равенств по всем площадкам. Будем иметь:
2 (rota)» До = 2 J а ' ^r+ 2еАо-
д с
Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, подсчитанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные § 13J ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУВКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ 79
площадки (рис. 21), при непрерывности вектора а будут иметь одинаковую величину, но разные знаки, в зависимости от того, к какой из площадок слагаемое относится (на рис. 21 элементарные площадки несколько раздвинуты, чтобы можно было показать противоположное направление обхода контуров вдоль общей границы двух смежных площадок).
Переходя к пределу при бесконечно большом числе площадок, образующих поверхность о, найдем:
Г (rota)M do= [ a -dr. (82)
о С
Интегральное соотношение (82) показывает, что поток вихря вектора сквозь некоторую разомкнутую поверхность равен циркуляции вектора по контуру, ограничивающему эту поверхность. Этот результат, представляющий содержание теоремы Стокса, позволяет сводить определение интенсивности вихревой трубки в поле вихря скорости к вычислению циркуляции скорости но замкнутому контуру,
