Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
Причиной этого является то, что бесконечно малое изменение вектора XI
возможно внутри многообразия стационарных состояний, и, таким образом,
стационарное состояние должно быть нейтрально устойчивым.
Алгоритм FORTRAN доказывает, что сеть ORGLI не имеет свертывания. Этот
алгоритм представляет каждое стационарное состояние как точку в конусе,
диффеоморфном с многообразием М. В общем случае такая точка может быть
выражена при использовании набора параметров, покрывающих конус, когда
они варьируются от нуля до бесконечности. Условие свертывания может быть
выражено с помощью этих параметров. Согласно условию, некий полином
обращается в нуль. Обычная сеть без свертывания соответствует полиному,
состоящему только из положительных членов. Поскольку параметры
положительны, полином не может обратиться в нуль для любого стационарного
состояния, что указывает нам на отсутствие свертывания. Этот метод
обнаружения свертывания дает определенный утвердительный или
отрицательный ответ для большинства сетей.
11. ГЛОБАЛЬНОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ
Шарик будет катиться вниз на дно круглой вазы. Если стационарное
состояние является глобально притягивающим, то всегда можно найти
функцию, аналогичную игре с шариком *. Такая функция называется функцией
Ляпунова.
Если многообразие стационарных состояний М является глобально
притягивающим, то всегда можно найти функцию Ляпунова для каждой точки на
М.
Для доказательства того, что система имеет глобально притягивающее
многообразие М, обычно стараются "угадать" функцию,
XI
м
С, к
* Равновесие шарика в вазах двух типов (см. [21*]). - Прим. перев.
Качественная динамика и устойчивость систем
387
которая будет иметь свойство функции Ляпунова. Затем необходимо доказать,
что это действительно так. Доказательство должно быть справедливым
повсюду в М.
Особенно многообещающей функцией является плотность свободной энергии
Гиббса, соответствующая стационарному состоянию. Преимущество этой особой
функции состоит в том, что, есЛи она имеет свойство функции Ляпунова для
любых двух токов, в таком случае она обладает им для всех выпуклых
комбинаций этих токов. Следовательно, если она имеет свойство функции
Ляпунова при каждом экстремальном токе, то она обладает им для всего
многообразия М.
Функция GLOBALNOCONS проверяет на свойство функции Ляпунова плотность
энергии Гиббса для каждого экстремального тока. Она обладает им, если и
только если максимум некоторой сложной функции равен 0 у стационарного
состояния. В этом расчете концентрация в стационарном состоянии
масштабирована к 1. Мы проверяли функцию на решетке точек 3 х 3 х 3 (в X,
Y и Z), приняв для каждой оси величины 0,5, 1 и 1,5. Согласно этим
значениям, стационарное состояние размещалось в центре решетки. (Эта
функция получает матрицу токов из глобальной переменной Е, таким образом,
мы присваиваем EORGLIREV первоначально Е.)
E^EORGLIREV
.5 1 1.5 GLOBALNOCONS NUORGLIREV,КАРРAORGLIREV CURRENT 1
MAXIMUM IS 0. 2746530722
' . 347 ' .693 "1.445
.000 .000 " .405
. 072 .275 .072
' . 347 ".347 " .896
". 347 .000 " .203
' . 752 '.203 ' .203
" .216 .131 " .216
' . 693 .000 .000
"1.707 " .811 " .608
GLOBAL MIXING CURRENTS 0 1
Функция печатает график функции, проверенной на модели решетки. Показан
лишь график для тока 1. Обычно нужно выбирать очень частую решетку и
тестировать функцию повсюду, чтобы быть уверенным в том, что 0 является
единственным максимумом. Решетка, используемая в этой функции, может быть
N х N х ... ... х N. В заключение алгоритм выдает на печать логический
век-
388
Б. Кларк
тор, который в данном случае показывает, что только первый и девятый тоКи
не обладают этим свойством. Следовательно, все стационарные состояния,
которые могут быть представлены в виде выпуклых комбинаций остальных
токов, являются глобально притягивающими. Эти стационарные состояния -
часть многообразия М, соответствующая заштрихованной области в поперечном
сечении конуса Cv, показанном справа. Как говорит само за себя имя
функции, GLOBALNOCONS действует только в том случае, когда отсутствуют
условия сохранения.
Строго говоря, этот тест не является вполне достаточным. Помимо этого,
необходимо удостовериться в том, что стационарные состояния на границе не
"притягивают шарик вместо того, чтобы он притягивался дном вазы". Это
почти наверняка не происходит для сети ORGLI.
Оказывается, что части многообразия М, соответствующие токам 1 и 9,
являются областями, в которых стационарное состояние неустойчиво и
происходят колебания.
12. СЕТИ, В КОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЕ М
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРАВИЛЬНЫМ, ОДНОЗНАЧНЫМ И ГЛОБАЛЬНО ПРИТЯГИВАЮЩИМ
Такие сети представляют интерес. Отсутствие правильности обычно
свидетельствует о том, что концентрации стремятся к бесконечности (это
означает, что сеть неадекватна для описания физической динамики) или к
нулю. Молекулы могут "исчезнуть".
Отсутствие однозначности приводит к множественности стационарных
состояний. В таком случае возможны интересные явления
