Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 3.
Сразу не очевидно, как определить "матрицу смежности" А (G) для такого
графа. Однако мы сможем это сделать, если первоначально определим индекс
четности листа.
Определение 1. Каждому листу Sk римановой поверхности (Мт мы присваиваем
индекс четности листа a(Sk). Например, для поверхности &2 мы можем
выбрать * a(S,) = 1, a(S2) = - 1.
* В действительности это - определение. Можно сказать, что на поверхности
индекс четности к-го листа задается как a(Sk) = exp {2kiri/m). Эти
определения основываются на идее о том, что необходимо каким-To образом
составить конечный базисный набор для описания различных типов смежности,
гарантируя в то же время, что /4(G) находится тем не менее над
соответствующим полем, т. е. полем комплексных чисел.
Использование римановых поверхностей
313
Основываясь на сказанном ранее, мы можем определить матрицу смежности A
(G) графа G следующим образом.
Определение 2. Матрицей смежности A(G) графа G является матрица п х п,
элемент которой atJ (1 ^ /, j ^ п) равен индексу четности листа, на
котором лежит ребро (v,, vy). Если ребра (г,, г,) нет, то в этом случае
ац = 0 как обычно.
Исходя из этого, если мы выбираем a(S,) = 1, a(S2) = -1, граф на
поверхности Зёг, показанный на рис. 4, имеет матрицу смежности
1°
A(G) =
10 0 1 1 0-100 о -1 01 о
0 0 10 1
\ 1 О 1 ОI
(О
Как и в случае обычного графа, ясно, что матрица A(G) вещественна и
симметрична. Мы можем также предусмотреть возможность включения в наше
обсуждение общих графов на °Ат (т. е. графов с произвольными весами ребер
[14]). В этом случае соответствующими элементами матрицы A (G) являются
a(Sk)b0 для каждого ребра (vt, Vj) с весовым коэффициентом Ъ на листе Sk.
Предположим, что нас интересует лишь четность изменений четности листа,
когда мы вычерчиваем граф G. Тогда это приводит нас к следующему
определению.
Определение 3. Индекс четности связности p(Sk) листа Sk поверхности равен
["(S^)]"*, где ок - число ребер графа G, лежащих на листе Sk. Например,
граф, изображенный на рис. 4. имеет
/?(S,) - ["(S,)]4 = (+1)4 = +1
И
p(S2) = [a(S2)]> = (-1)1 = -1.
Определим теперь матрицу четности смежности.
Определение 4. Матрица четности смежности M(G) графа G - это матрица п х
п, в которой элемент m:J - p(Sk) (1 < i, j < n), когда ребро (v,, py)
лежит на листе Sk.
Матрица M(G) вещественна и симметрична. Очевидно, что для графа G,
представленного на рис. 4, матрица M(G) тождественна /4(G) [уравнение
(1)]. Однако для произвольного графа G матрицы M(G) и/4(G) не обязательно
тождественны. Так, например, показанные на рис. 5 два графа имеют
различные матрицы
314
А. Дей, Р. Мал пион, М. Ригби
-4(G) [уравнения (2) и (3)], но идентичные матрицы M(G) [уравнение (4)].
А(31 =
AM "
/°
1
0
1
\
/ О 1 о
\1
1
о
-1
0
1
0
1 о
l\
0
1
°/
(2)
(3)
м(з) = мт=
\
(4)
Этот пример свидетельствует о необходимости не останавливаться на задании
матрицы /4(G), а определять более фундаментальную матрицу M(G).
Произвольные весовые коэффициенты ребер можно ввести в матрицу M(G), так
же как и в матрицу A (G), записывая каждый элемент как т^Ь , где Ьу -
соответствующий весовой коэффициент ребра (vt, i> ) на листе Sk.
Если мы хотим рассматривать матрицу четности смежности M(G) мёбиусовской
или иной системы на поверхности :9f2 как "обычную" матрицу смежности
A(G') некоторого обычного планарного графа G', то очевидно, что граф G'
является реберновзвешенной точной копией графа G (с положительными и
отрица-
5, 4 *1
Л = + 1 А ос = ~i (X = +1
р= +1 U' +1 />*+ 1
РИС. 5. Два графа на с идентичными матрицами M(G), но различными
матрицами смежности A (G).
Использование римановых поверхностей
315
тельными весовыми коэффициентами, отвечающими соответственно отсутствию
изменения четности между смежными вершинами и изменению четности между
ними) и неизбежно должен быть таким.
3. ПРИМЕНЕНИЕ
Рассмотрим теперь, каким образом разработанная выше теория графов может
быть применена к мёбиусовским системам. Хейль-броннер [6] рассмотрел тг-
электронную систему аннуленов (СН)", в особенности те конформации, в
которых эта система скручена таким образом, что главные оси 2pz-орбиталей
базисного набора лежат на ленте Мёбиуса *, как показано на рис. 6.
Хейльброннер установил **, что энергетические уровни мёбиусовского
аннулена (СН)" задаются выражением
\к = +20' cos [(2к + 1)тг/п], 0 ^ к ^ п - 1, (5)
в котором 0' = 0 cos ш, где 0 - обычный резонансный интеграл для пары
соседних параллельных /7-орбиталей и со - угол скручивания между
соседними /7-орбиталями в мёбиусовской системе; для рассмотренной
регулярной системы со = ж/п. Соответствующие
РИС. 6 Мебиусовское перекрывание в циклической системе р-орбиталей.
Зачерненные лопасти имеют знаки, противоположные знакам незачерненных
лопастей, и? - угол скручивания между соседними p-ор-биталями Отмеченная
пара лопасгей (а и Ь) обсуждается в тексте
* При анализе мебиусовских систем Хейльброннер весьма ясно сформулировал
