Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
импримитивно на 4 вершины квадрата, поскольку мы можем разбить их на
блоки Ф, и Ф2, каждый из которых содержит противоположную пару, так что
D4 переставляет Ф1 и Ф2; с другой стороны, если п - простое число
(скажем, G = D5 действует на 5 вершин пятиугольника), то п Ф kl для к, I
> 1, следовательно, разбиение не существует и G действует примитивно.
Можно показать, что следующие утвержде-
302
Г. Джонс, Э, Ллойд
ния эквивалентны [13]: 1) G действует примитивно на П; 2) каждый
стабилизатор Ga является максимальной подгруппой группы G; 3) все
суборбитальные графы Г,, Г2, ... , Гг_, являются связными. (См. рис. 22,
где все три утверждения не выполняются.)
В нашем случае имеем G = Sn. Эта группа действует на В = при Gd = aut Е,
следовательно, все реакционные графы Г, (/ Ф 0) будут связными, если и
только если aut Е - максимальная подгруппа группы Sn. Если Е - граф,
изображенный на рис. 1, то aut Е фиксирует вершину 1, поэтому aut Е < S4
< S5 (где < означает соответствующую подгруппу данной группы) и aut Е не
является максимальной подгруппой, из чего следует, что Е имеет по.
крайней мере один реакционный граф Г, (/ Ф 0), который не является
связным. Мы уже отмечали это, поскольку реакционный граф для 1,3-сдвигов
(разд. 3, пример 5) не был связным. Тем не менее существует много графов
Е, для которых aut Е - максимальная подгруппа группы Sn, следовательно,
Г, - связный Граф для всех i Ф 0; например, если Е - линейный граф L
(Кт), где т - нечетное число и равно по меньшей мере 7, то aut Е (= Sm) -
макси-' мальная подгруппа группы Sn, где п = (1/2) т(т - 1) [14, 15].
Аналогично если Е - полный двудольный граф Кр q, то aut Е - максимальная
подгруппа группы S", где п = р + q [16, 17]; здесь aut Е = Sp х Sq, если
р Ф q, и aut Е = SplSq, если р - q. Опять-таки если Е - полный
многодольный граф Кр (г блоков раз-
мера р при р, г ^ 2), то aut Е - максимальная подгруппа группы Sn, где п
- рг [16, 17], и aut L (Е) - максимальная подгруппа группы S,,, где п -
рг при условии, что р ^ 5 и рг~1 не делится на 4 [18, 19]; здесь aut Е =.
aut Z. СЕ) = SplSr.
5. ВЫВОДЫ
Нами показано, что некоторые реакционные графы, встречающиеся в
химической литературе, являются примерами графов, известных специалистам
по теории групп как суборбитальные графы. В настоящей статье мы
ограничились рассмотрением особых типов реакционных графов - графов, в
которых перегруппировки исходного графа приводят к изоморфному графу
(вырожденные перегруппировки), и нами всегда допускалось, что на исходный
граф действует группа полной симметрии. Основываясь на общих свойствах
субор-битальных графов, мы пришли к выводу, что группа автоморфизмов
такого реакционного графа всегда содержит симметрическую группу Sn, и
рассмотрели условия, при которых реакционный граф является связным.
Вероятно, существуют другие результаты исследований суборбитальных
графов, которые могли бы быть приме-
Группы автоморфизмов химических графов
303
нены к реакционным графам, и возможно также смягчение ограничений
вырождения и полной симметрии; см., например, работу Ллойда [12]: в ней
представленные на рис. 6, 9, 10-12 графы являются суборбитальными графами
Г, (г Ф 0) для группы S5, которая обсуждается в примере 1 настоящей
статьи, где группа симметрии D3h тригональной бипирамиды заменяется ее
группой вращений ?>3.
Литература
Мы не пытались дать исчерпывающую библиографию. Многочисленные ссылки
могут быть найдены в статьях Балабана и Рандича, упоминаемых ниже, а
также в статьях Дугунджи и сотр. [20] и Гилена [21]. Для первоначального
ознакомления с суборбитальными графами (или орбитальными графами, как он
их называет)- мы рекомендуем читателю работу Неймана [22]; эти графы
также рассматривают Камерон [23] и Цусуку [24].
1. Balaban А.Т., Farca^iu D., Banica R., Rev. Roumaine Chim., 1966, v.
11, p. 1205.
2. Randic М., Croat. Chem. Acta, 1977, v. 49, p. 643.
3. Randic М., Int. J. Quant. Chem., 1979, v. 15, p. 663.
4. Randic М., Int. J. Quant. Chem.: Quant. Chem. Symp., 1980,
v. 14, p. 557.
5. Randic М., J. Chem. Inf. Comput. Sci., 1981, v. 21, p. 52. -
6. Randic М., Davis M.I., Int. J. Quant. Chem., 1984, v. 26,
p. 69.
7. McKay B.D., In: Lecture Notes in Math., D.A. Holton, J.
Seberry (Eds.), V. 686,
Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 223.
8. Whitney H., Amer. J. Math., 1932, v. 54, p. 150.
9. Behzad M., Chari rand G., Lesniak-Fosier L., Graphs and
Digraphs, Weber and
Schmidt, Prindle, 1979.
10. Balaban A.Т., Rev. Roumaine Chim., 1977, v. 22, p. 243.
11. Balaban A.Т., Rev. Roumaine Chim., 1973, v. 18, p. 841.
12. Lloyd E.K., Match., 1979, No. 7, p. 255.
13. Sims C.C., Math. Z., 1967, Bd. 95, S. 76.
14. Калужнин Л.А., Клин M.X. - Мат. сборник, 1972, т. 87, с. 91.
15. Halbersladl ?., Math. Z., 1976, Bd. 151, S. 117.
16. Байрамов P.A. - Дискрет. Анализ, 1966, т. 8, с. 3.
17. Ball R.W., Trans. Amer. Math. Soc., 1966, v. 121, p. 393.
18. Jones C.A., Soomro K.D., Quart. 1. Math. Oxford (будет
