Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Пространственные группы симметрии 371
Нумерация Бескоординатное Координатное (между-
(см. рис. 8-12) обозначение народное) обозначение
22 (а) -2, p2.ll
25 р\\а
8.4. Стержни
«Бесконечная» цепь атомов углерода (рис. 8-5) имеет конечную толщину. На самом деле это трехмерная конструкция с периодичностью только в одном направлении. Таким образом, она имеет одномерную пространственную группу симметрии (С?) и подобна бесконечно длинному стержню. Стержень обладает особой осью, но не имеет особой плоскости. Все типы осей симметрии (ось трансляции, простая поворотная, зеркально-поворотная, винтовая) могут совпадать с осью стержня. Винтовая ось может быть не только осью второго порядка, как в случае лент, но и любого другого. Конечно, эти элементы симметрии, за исключением простой поворотной оси, могут характеризовать стержень, только если он на самом деле бесконечно вытянут. С точки зрения симметрии труба, винт и различные лучи в такой же степени являются стержнями, как и стебли растений, векторы или винтовые лестницы. Чтобы для их описания применять пространственные группы, необходимо допустить их бесконечные размеры. Реальные же предметы конечны, поэтому, изучая их симметрию, лучше рассматривать только некоторую их часть, оставляя их концы вне поля зрения и мысленно продолжая их до бесконечности. Часть лестницы, обладающей винтовой симметрией, изображена на рис. 8-13. Трудновообразимая винтовая лестница, представленная на рис. 8-14, кажется бесконечной. По этой причине к ней может быть применена пространственная группа симметрии.
Винтовая ось приводит бесконечный стержень к самосовмещению после переноса на расстояние г, сопровождаемого поворотом на некоторый угол а. Таким образом, этот стержень имеет винтовую ось симмет-
Рис. 8-13.
Лестница с винтовой симметрией. Фо то авторов.
24*
Глава X
Рис. 8-14.
Невероятная винтовая лестница, к которой применима пространственная группа симметрии, поскольку по лестнице можно двигаться бесконечно. Идея этого рисунка навеяна рекламой кинофильма "Gluck im Hinterhaus" («Счастье на задворках»).
рии а,. Порядок винтовой оси равен и = 360°/а. (Особый случай, когда и-целое число.) Для винтовой оси второго порядка направление поворота несущественно. Для всех других винтовых осей направление может быть либо лево-, либо правосторонним.
Расположение листьев вокруг стеблей многих растений-превосходный пример симметрии винтовой оси в природе. Растение Plantago media, изображенное на рис. 8-15, разумеется, не простирается бесконечно. Однако можно предположить, что для растений бесконечная последовательность (по крайней мере во времени) типа растение-семя-растение-семя. .. служит достаточным оправданием для использования пространственных групп при описании их симметрии. Рассмотрим теперь относительное расположение листьев вокруг стебля Plantago media.
Рис. 8-15.
Расположение листьев вокруг стебля Plantago med
Пространственные группы симметрии 373
Рис. 8-16.
Сосновая шишка с двух точек зрения. Снизу видны 13 левых и 8 правых спиралей, образованных чешуйками. Фото авторов.
Начав с листа «О», видим, что лист «8» окажется в затененной ориентации по отношению к нему. Чтобы добраться до листа «8», начиная с нулевого, нужно трижды обогнуть стебель. Отношеие двух чисел, а именно 3/8, показывает, что любой новый лист встречается через каждые 3/8 части стебля. Отношение 3/8 характерно для филлотаксиса (расположение листьев на стебле растения), так же как и значения 1/2, 1/3, 2/5 и даже 5/13. Почти ничего неизвестно об истоках филлотаксиса. Давно было замечено, что числа встречающиеся в этих характеристических соотношениях, таковы: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., а это не что иное, как числа ряда Фибоначчи, в котором каждый последующий член является суммой двух предыдущих. Числа Фибоначчи можно также найти, рассматривая снизу спиралевидное построение сосновых шишек. На рис. 8-16 можно видеть сосновую шишку в двух аспектах. Вид снизу показывает существование 13 левых и 8 правых спиралей из чешуек. Такие спирали с точными числами Фибоначчи обнаружены и в других растениях. Семечки подсолнечника можно рассматривать как спрессованное множество, расположенное вокруг стебля. На рис. 8-17 дано несколько примеров. Вероятно, больше всего поражает то, что продолжение характеристических соотношений в расположении листьев окончательно приводит к чрезвычайно важному иррациональному числу 0,381966..., выражающему золотое сечение\
Вернемся к винтовым осям. На рис. 8-18 демонстрируется бесконечный анион с винтовой осью 105 [4]. Наиболее важным применением одномерных пространственных групп в химии является их использование для полимерных молекул [5]. Рис. 8-19 иллюстрирует структуру и элементы симметрии в протяженной молекуле полиэтилена. Период трансляции, или идентичности, показан на рис. 8-19, д. Это расстояние между двумя углеродными атомами, разделенными третьим атомом.
374
Глава 8
\
Рис. 8-17.
Спирали в растениях. Сингапурская марка и фото авторов.
Однако любой участок этой длины может быть выбран в качестве периода идентичности вдоль полимерной цепи. Трансляционная симметрия полиэтилена характеризуется этим периодом идентичности. Кроме того, здесь присутствует множество других элементов симметрии (см. рис. 8-19,6).
