Квантовая химия. Введение - Фларри Р.
Скачать (прямая ссылка):
Существует и более компактная форма записи перестановок, чем указанная выше. Способ записи структуры цикла использует только одну строку индексов. Сначала выбирается исходный индекс. Второй индекс (при активном способе записи) указывает положение, в которое переходит первый объект, третий индекс — положение, в которое переходит объект в результате
160
Глава 7
дальнейшей перестановки, и т. д., пока цикл не завершится достижением положения, из которого объект возвращается в исходное положение для данного цикла. Если первый цикл охватывает не все объекты, то за пределами этого цикла выбирают новый исходный индекс и процесс повторяют до тех пор, пока он не охватит все объекты. Индексы в каждом цикле заключают^ в скобки. Циклы могут иметь произвольную длину и содержать от 1 до Л7 индексов. Например, для группы S(3) можно записать
? = 2 з) = (1И2И3)' Р' = (2 3 l) = (1 2 3) /1234 /1234
^ = U і 2Н1 3 2>' р* = (л з 2j = ^(2 з)
P4=G І з) = (1 2)(3)' Рб==(з 2 П = (1 3)(2) (7,АЗ)
При таком способе записи умножение перестановок несколько усложняется. В этом случае перестановку, записанную справа, тоже выполняют первой. Начинают с того, что в правой перестановке выбирают какой-нибудь исходный индекс. Его записывают как первый индекс в произведении. Затем отыскивают индекс, в который переходит исходный индекс в правой перестановке, среди индексов левой перестановки, а в произведении перестановок указывают на втором месте тот индекс, в который переходит найденный индекс левой перестановки после ее выполнения. Далее начинают с того индекса, который только что записан в произведении, и повторяют для него все указанные выше операции, пока в произведении не образуется цикл. При необходимости процесс повторяют со следующим исходным индексом до тех пор, пока произведение не включит всех индексов. Например, для произведения перестановок (1 23 4 5)Х X(I 2 4) (3 5) группы S(5) процедуру можно начать с индекса 1 в правой операции. Этот индекс в правой записи переходит в индекс 2. В левой записи 2 переходит в 3, так что в произведении перестановок следует после 1 указать 3. Далее необходимо выбрать индекс 3 в правой перестановке. В результате этой перестановки 3 переходит в 5. В левой перестановке 5 переходит в 1. Таким образом, в произведений завершается первый цикл. Теперь выберем индекс 2 в правой перестановке. Этот индекс переводится в 4. В левой перестановке 4 переходит в 5, так что во втором цикле произведения следует записать 2 и затем 5. Далее в правой перестановке выбирается индекс 5. Эта перестановка переводит 5 в 3, а левая перестановка переводит З в 4, и последний индекс заносится во второй цикл произведения. В правой перестановке 4 переходит в 1, а в левой пересга-
Электронное строение многоэлектронных атомов
161
новке 1 переходит в 2. Таким образом, цикл завершается, и все индексы теперь оказываются исчерпанными. Итак, мы получаем
(1 2 3 4 5) X(I 2 4)(3 5) = (1 3)(2 5 4) (7.A4)
Используя любой способ записи и любые правила умножения, можно построить таблицу умножения для симметрической группы. Таблица умножения для группы S(3) показана в табл. 7.Al. На ее примере можно проследить все особенности
Таблица 7.А1. Таблица умножения элементов группы S(3)a
SO)
(1)(2)(3)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1)(2 3)
(1 2)(3)
(1 3)(2)
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)'
(1 2 3)
(1 3 2)
(1)(2 3)
(1 2)(3)
(1 3)(2)
(1 2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1)(2)(3)
(1 2)(3)
(1 3)(2)
(1)(2 3)
(1 3 2)
(1 3 2)
(0(2)(3)
(1 2 3)
(1 3)(2)
(1)(2 3)
(1 2)(3)
(1)(2 3)
(0(2 3)
(1 3)(2)
(1 2)(3)
(1)(2)(3)
(1 3 2)
(1 2 3)
(1 2)(3)
(1 2)(3)
(1)(2 3)
(1 3)(2)
(1 2 3)
(1)(2)(3)
(I ..3 2)
(1 3)(2)
(1 3)(2)
(1 2)(3)
(1)(2 3)
(1 3 2)
(I 2 3)
(1)(2)(3) '
" В таблице указаны результаты умножения операций, взятых в такой последовательности! (операция из левого столбца) X (операция из верхней строки).
таблицы умножения любой конечной группы. Заметим, что каждая строка и каждый столбец содержат все операции группы и что каждая операция встречается в каждой строке и в каждом столбце только по одному разу. В частности, всегда существуют две операции, произведение которых представляет собой тождественное преобразование. Такие операции называются обратными по отношению друг к другу. Операции (1) (2) (8), (1) (2 8), (1 2) (3) и (1 3) (2) являются обратными по отношению к себе, а операции (1 2 3) и (1 3 2) обратны друг к другу, иначе это можно записать так: Pf = P2-1 или P1P2 = P2P1=E.
Операции и обратные им операции можно использовать, чтобы ввести определение сопряженных операций. Если операция Л-1 является обратной по отношению к операции A, a В— произвольная операция, то произведение А~1ВА называется сопряженным для В по отношению к А. Наборы операций, взаимно сопряженных друг другу (т. е. связанных сопряженными соотношениями), образуют классы группы. В табл. 7.А2 указаны сопряженные операции группы S(3). Из рассмотрения этой таблицы видно, что операция (1) (2) (3) не сопряжена никакой другой операции и поэтому сама по себе образует отдельный класс. Операции (1 2 3) и (1 3 2) являются взаимно сопряженными и поэтому образуют класс; то же самое можно сказать об операциях (1)(2 3), (1 2)(3) и (1 3)(2). Таблица
