Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
.V(T) >1, г(т)<|.
ТТ7 <.'/«< ^T' VTef-oo.co) и Hm я"(т) = я0
Т->±°о
Система (4.32) исследовалась численно [818] па существование н устойчивость решений в виде бегущих волн. Было показано, что если /єе(/з, M аш>0 мало, то существует класс начальных условии, которые эволюционируют в одиночные бегущие волны. Авторы работы [818] проследили за решениями при возвращении / в область колебаний (т. е. [ < 2,414) и обнаружили, что при этом такие «триггерные» волны сохраняются.
Здесь полезно дать краткое доказательство того, что решения в виде бегущих волн существуют. Способ доказательства называется методом пристрелки, который часто используется при таком анализе. На первом шаге требуется вычислить якобиан системы (4.32) в по. Нетрудно показать, что существует интервал ()'3, ft) S (/,, f2), такой, что если fs (f3, M н а1 > о
*.-.-in то одно из собственных значении якобиана положительп,, я той других имеют отрицательные вещественные части.
Таким образом, имеется одномерное неустойчивое многообразие решений U, которые стремятся к л0 при т — — оо; это многообразие направлено в область х > х0, v > 0 у < у0 г > 2о. Поэтому положим, что л(0)єе U. Далее, при /є= (;3> /4) „ Ма. том w можно доказать, что при больших 0 компонент .v решения удовлетворяет условию X > \/д раньше, чем х < 1. В то же время при малых 6 решение удовлетворяет условию X < 1 раньше, чем x>l/q. Соображения связности подсказывают, что имеется промежуточное значение 6*, при котором д(т) должна оставаться в области
Kx, z<^ тТ7<-'/<-^' Уте(-ос,оо)
После нескольких дальнейших шагов становится ясным, что не только л(т) ограничено, но и Hm я(т) = л0, и этим теорема до-
1 -* OO
казана. (Подобный же метод был использован при доказательстве того, что модели нервного волокна Ходжкина — Хаксли и Фитц-Хью — Нагумо допускают решения в виде бегущих воли [447].)
4.6.2. Устойчивость волновых решений
Хотя существование одиночных бегущих волн было доказано, вопрос об их устойчивости остается открытым. Численные расчеты в работе [818] показывают, чТо волна устойчива, однако строгого доказательства этого факта не приведено. Тем не менее оказывается возможным исследовать устойчивость волны в более простой системе. Напомним, что во время образования волны концентрация z остается фактически постоянной и равной значению в состоянии покоя: z = z0. Поэтому приближенно можно считать, что в момент образования волны z ss Z0. Тогда система (4.31) сводится к более простому виду:
1 = -^Ш. (4.33)
при начальных условиях
*(?. 0) = ф(?), 0) = ф(?), -оо<?<°о (4.34)
^ьТня^пРЄАПО,1аГаЄТСЯ> что снсте*а (433) является мо-будем cit Т° Ф°РМ11Р°вания волны химической активности, положим ІІТпРЄШЄНИЄ IВИДе волны "ерепада. Как и в разд. 4.6.1 положим, что х и у функции одной переменной т- -CA + '-
Тогда уравнения (4.33) могут быть записаны в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка* х' = V
V' = Є (v - S (у — XIJ + X- ух-))
-4?-*y + fa) 'J--S- (4.35)
где 9 = C1ID. Из разд. 4.4 напомним, что если \ <= (flt J2) н г = = 2о(/), то аналогичное сведение к системе ОДУ модели Орегонатор [т. е. к системе (4.26)] дает три постоянных решения (хо, Уо), (X], у\) н (.v2, Ij2). Отсюда следует, что система (4.34) имеет три постоянных решения: ло = (•v0, 0, у„), лі = (а,, 0, у,), я2 = (.v2, 0, 1/2). Здесь .-t0 представляет состояние покоя, а л2 — возбужденное состояние. Бегущий фронт —это решение л(т), соединяющее оба постоянных решения при ± со. В работе 1525]' система (4.33) исследовалась на существование и устойчивость решений в виде бегущего фронта. Были получены следующие результаты.
Теорема 2 (существования). Для любого j є (ju J2) существует такое Wf > 0, что если 0 < w < Wj, то существуют 8* > >0 и ограниченное решение системы (4.34) я*(т), такое, что
Hm я* (т) = я0 и Нш я*(т) = л2
Т->~оо t->+ «,
Подобно доказательству теоремы [, при доказательстве этой теоремы используется метод пристрелки. Предполагается, что л(0) лежит на одномерном неустойчивом многообразии, исходящем от по. Можно показать, что при больших 0 решение удовлетворяет условию .v > \/q раньше, чем у < fq/(l + q), а при малых 0 решение удовлетворяет условию у < fqf (\ + q) раньше, чем х > \/q. Из соображений связности следует, что при некотором промежуточном значении 0* решение остается в интервале 1 < х < \/q и fq/(\ + q) <у < f/2q. Затем было показано, что lira (х, V, у) = я2.
т-+од
Для того чтобы исследовать устойчивость решении в виде фронта, авторы работы [525] вводят движущиеся координаты Z = Z-Ci и полагают и (z, t) = х(г + ct. I), v(z,t) = y(z + ct,t). Тогда и н V удовлетворяют системе ураннешгй
и, = йигг + CU1 + F (и, v),
V1 = CV1 +G (и, V) (-US')
при
(н (z, (I), V (z, U)) = (<р (г), * (г)) для - °° < z < + °° (4.36)
Из теоремы 2 следует, что для любого D > 0 существуют значение с>0 и решение (u(z), v(z)) уравнений, не зависящих
явно от времени:
Du12 + сиг + F (и, v) = О
