Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
н0 = 0, U0 = X0Z0, IJ1 = V0Iw0 (случай 1)
H0 = O1 U0 = X0Zc ^0 = O (случай 2)
U0 = X0 = W0 = O, W1 = VJyJ (случай 3)
Uo = Ar0 = BD0 = Ii0 = O (случай 4)
только случаи 2 и 4 дают физически значимые решения. Рассмотрим их ниже.
а) Случай 2: V0 = у0 = 0, u0 = x0z0. Ниже мы опустим индекс 0. Так как v=y = 0, то соответствующие члены в выражении для скорости также обращаются в нуль (г0=?/оа" + + (с — ^0)о' = 0, когда а = 0). Поэтому, используя равенства (10.261)-(10.267) и отметив, что г8 = т9 = т,0 = щ = 0, можно исключить г\ и Гг.
т, = 0, т2 = -г3 (10.269, 10.270)
Кроме того, предположим, что из рассмотрения можно исключить r„/fu (т. е. в интересующем нас пространственном масшта-мпЖ1'3ведение хг меняется слабо), таи что нз равенства (Ш.д>1) получается
„ r6 = 2r5 —т7 (10.271)
Следовательно, ^
гш — L (г, — г3) = (1/2)^* (я _ j0) (10.272)
т1=2т3-2г4 + л5-г7 = .х[і~і0-г2__Л.(-1 (10.273)
= f, (г, - г7) = 2*^ (i _ ^ _ JE?l4 " {10 274)
Г0==° (10.275)
Помер резкими
Выражение для скорости
0C)
(Ri)
a,(nyle? — о/є)
(Wy)0 = O
(;:•</), = »о
(R2)
xyle
(XiJ)0 = 0
(Гг)о = (ху)і
ДО)
ці — (1/2) wx
(гз)о = !Оо-Со/2
(R4)
(1/2)*2
W0 =(1/2) 4
(R5)
X — и2
(rsb = (* — *2г2/а)0
ДО)
ас(и — xz)/e
H0 = їог0
(Г«)0 = Oj(M-XZ)1
ДО)
uz — гу
Mo = хого
(R8)
afiv
(л8)0 = ав80о0
(R9)
еаяг
Ыо = 0
(RlO)
еа10г
и-.»)» = 0
(RU)
EU,, (I — 8)
Cn)O = O
О (г2)
Как и в разд. 10.9.2, соотношения (10.272)-(10.275) снравед-ливы в той части пространства, где у = и = 0. При этом граничные условия при р = 0п р = —оо остаются пока неопределенными. А „
б) Случай 4: н0 = .v0 = а>о = = O- Для определения величины членов низшего порядка, как п ранее, воспользуемся табл. 10.11 и выражениями (10.261)-(10.267). При этом все г, обращаются в нуль! Это, однако, не означает, что эволюции не происходит, так как уравнение
dyy" + (с + л) </' = О, У (0) = 0, г/(оо) = г/„ (10.276) имеет решение
// = г/оо[1-ехр(-у'1))] (10.277)
Здесь, как н ранее, //„ — величина, подлежащая определению. Выражения для скоростей изменения тех компонентов, которые могут меняться в областях пространства, определяемых условиями, соответствующими случаю 4, оказываются следующими:
'•„ = 0, гг = 0, ге = 0 (10.278— 10.280)
Суммируя, получаем члены нулевого порядка для скоростей в промежуточном пространственном масштабе:
о = 0 (10.281)
rw = (l/2)fmx(x-w), р< 0 (10.282)
rx = x[l - v-z2-x(\ Р< 0 (10.283)
г„ = 0, р> 0 (10.284)
rz = 2xfz{\ _22_JEl) (10.285)
го = 0 (10.286)
Как и в разд. 10.9.2, чтобы найти граничные условия, мы обратимся к рассмотрению задачи на малых и больших пространственных масштабах.
в) Поведение на больших пространственных масштабах. Полагая, что как и в разд. 10.9.2, уравнение волны нулевого порядка на больших масштабах имеет вид
К-«3)-?" +(Pi)0 = 0 (Ю.287)
опятГопущен)-МЫ П0ЛуЧ1Ш слеДУющне соотношения (индекс 0
U = V = W = х = 0 (10.288)
Р« = U (KoZ - У - 2„) (10.289)
Рг = /г(2у-6а9г_4а,„г) (10.290)
Po = foK-3//-2y-a|10) (10.291)
При выводе (10.289)-(10.291) нам необходимо выбрать либо 0 = 0, либо и=0. Если выбрать 0 = 0, то мы обнаружим, что условие стационарности р„(о*) = 0, вообще говоря, не может быть выполнено. Следовательно, единственным физически осмысленным решением, представляющим волну, распространяющуюся в покоящейся среде, является решение CU = O.
Известно, что для некоторых состояний системы (а именно когда концентрация Br+ велика) v ф 0. Мы неявно предполагали, что Iv в лучшем случае того же порядка, что и є. Поэтому, если бы оказалось, что у = 0(е~[), нам пришлось бы рассмотреть эволюцию v. Точно так же случай 1 (см. выше) допускает эволюцию V, когда w Ф 0.
г) Условия Стефана. Чтобы разобраться в особенностях поведения системы, описываемой механизмом ФКН+(Rl 1), на малых пространственных масштабах, мы должны рассмотреть в уравнениях члены порядка О (е-2) и О (е-1). B общем виде уравнения можно записать так:
dad" + га(д) = 0 (10.292)
где нормированная концентрация 5 дифференцируется по нормированной координате р (подробнее это описано в разд. 10.4). Наиболее мелкий масштаб должен определяться членами порядка О (е-2). Поэтому вначале мы займемся «очень малым» масштабом.
/. Очень малый масштаб. Положим w = w/e2,s, у = у/гі/3, (і = р/є2'3. Используя тот факт, что величина /„ настолько мала, что нет необходимости рассматривать уравнение для и, и устремляя е к нулю, получим
Cl11O"-f^a1Wy = 0, d^w" - f ^a1Wy = O (10.293, 10.294)
где штрих обозначает дифференцирование по р = р/в2/3. Как и в разд. 10.4, имеем
(dJL) W (Q-) = - (d Jf11),/(O+) (10.295)
Отметим, что мы вернулись к переменным без значка «Л». Так как
da/dp = do/dp (10.296)
то нормирующий множитель для концентраций и координат один и тот же, а именно е2/3. Теперь мы обратимся к задаче нахождения условий иа х'(0)х, которые определяются членами следующего порядка, т. е. О (е-1):
