Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
*,=Цм*. р)-3?- (1-5)
н дальше часто будет удобнее ссылаться на X11, а не на порождающую систему дифференциальных уравнений. Пусть <р (г, .V0) = = (ft(x0)—решение системы (1.4) с Xo при t = 0. Назовем О(х0) = {ф(I, л-'о)\1 є R} ориентированной орбитой, проходящей через х0. Особый интерес представляют орбиты, являющиеся стационарными состояниями или неподвижными точками х", для которых О(х5)= Xs, н периодические орбиты у (г). Решение y(t) = ф(г, х0), проходящее через Xo1 является периодическим с минимальным периодом T > 0, если ф (t + Т, х) = <р (t, х) для г є R и не существует меньшего значения Т, удовлетворяющего этому соотношению. Фазовым портретом системы (1.4) называется множество всех орбит системы (1.4), которые можно считать семействами кривых в Rn.
Данное определение ф<(х0) имеет смысл лишь в том случае, если решения системы (1.4) определены при всех tsR. При необходимости это можно обеспечить, гладко переопределив / вне некоторой достаточно большой области, так чтобы исключить решения, обращающиеся в бесконечность за конечное время. Мы определим множество M таким образом, что решения, начинающиеся в М, остаются в M при всех (t, p)e.(R, P), так что ф: M X R-»-M представляет гладкое отображение, которое дается системой (1.4) и называется потоком. Например, если l(x,p) — Ax при постоянной матрице А, то <р/(хо) = = ехр(Лг)х0.
Якобиан (fitX удовлетворяет линейному вариационному уравнению
d<?i,Jdt = fx(<t,(Xa))<fi,x (I-6)
н формула Лиувнлля— Якобн дает
J (i) = det (Ф(> х) = exp Sр Ix (ф, (X0)) dsJ
Таким образом, ноток сжимает фазовый объем в той области фазового пространства, где дивергенция поля Xn отрицательна, и, если она отрицательна повсюду в М, решение будет стремиться к многообразию меньшей размерности при t-*-oo. Это множество может состоять лишь из стационарных точек и периодических орбит, но может иметь н гораздо более сложную структуру, как в случае системы Лоренца [612]. В общем случае невозможно получить полный фазовый портрет параметрического
семейства векторных полей, однако с физической точки зрения часто достаточно знать лишь асимптотическое поведение И'ш поведение на больших временах. Для этой цели нужно в фазовом пространстве найти множества, которые в некотором смысле являются притягивающими, и анализировать поведение па этих множествах.
Теперь положим, что р фиксировано, и рассмотрим некоторое векторное поле. Подмножество S s M является положительно инвариантным (либо отрицательно инвариантным или инвариантным), если (ft(S)czS при is=P+ (либо гєУ?- или tsR). ^-Предельным множеством будем называть множество 1Ы(Х)= {у ЄЕ M I 3 последовательность tn ->¦ + со э ф,п (х) ->¦ у}, т. с. L10 (х) — это множество точек, к которым ф, (х) стремится при /->-+«). Обращая время в этом определении, получим определение ^.-предельного множества La(x) для хєАІ Предельные множества Ln(O) и L(0(0) орбиты О —это а- н ш-пре-дсльиые множества для любой точки .teO. И La(x), и La(x) — это замкнутые инвариантные множества, и оба являются подмножествами неблуждающего множества Q(<f), определяемого следующим образом. Точка .v є М — неблуждающая для отображения ф, если для любой окрестности N точки х множество (fi(N)(\N непусто для произвольно большого t є. R. Другими словами, х — неблуждающая точка, если при отображении ф образ любой окрестности .v пересекается с самим собой бесконечно часто при течении времени как в прямом, так и в обратном направлении. ?2(ф)—это множество неблуж-дающих точек, и, так как фт [фі (N)O N] = фі-и(W)(I фт(N), Й(ф) полностью содержит орбиты, проходящие через любую неблуждающую точку. Таким образом, 0(ф) замкнуто, и, если M компактно, оно непусто н компактно и, в частности, содержит стационарные состояния, периодические орбиты и любые другие а- и со-предельные множества, которые могут быть.
Пример 1. Пусть 7^ = S1XS1 — двумерный тор, определяемый как топологический образ произведения двух циклов. Точки на поверхности T2 можно параметризовать посредством пары угловых переменных (Gi1O2). Рассмотрим поток, задаваемый Дифференциальными уравнениями
(10JcU = W1, dQ.Jdt = u>,, (1.7)
где (,>¦ и (TJ2- константы. Любая точка тора T2 неблуждающая, поскольку, если отношение юі/и2 рационально, то любая орбита периодична, а если ші/м2 иррационально, то всякая орбита плотна на T2. В каждом случае каждая точка Г2 содержится в ее а- и м-иределыюм множестве. Свойства потоков на торе еще будут обсуждаться в дальнейшем. Заинтересованный читатель может найти тщательное рассмотрение этой проблемы в книгах [784, 911].
2 За к. 6l>8
пик реакции Л, -+Лгн .Ль который* о7шсйва"мея"кі...стіі..сск..м.. уравнениями
Ппииер 2 Рассмотрим трсуголыи:
Пример * .........,„п,мгя КІІНЄТІІЧС
deceit = kzC№ — U1C1C2 dd/dt=* kiWi (1.8)
dcsjdl ^k1C1C3-Ii3CjC3
Ясно что I <',(()= 2>Л°) " ПОЭТОМУ симплекс компактен Ппос'тые вычисления показывают, что произведение Цзс/сЛГ явЧяется инвариантом (хотя и не кинематическим инвариантом) и 'таким образом, орбиты лежат внутри симплекса и все они замкнуты. Точками равновесия являются все вершины симплекса, и внутренние точки являются возвратными в том смысле что каждая из них принадлежит своему ш-предельному множеству. Однако это неверно по отношению к остальным точкам границы.
