Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
9.2.3.3. Алгоритмы для исследования автоколебании под действием слабого возмущения. Когда колебательная система подвергается слабому периодическому воздействию, происходит либо захват частоты, либо возникают двухчастотпые колебания [595]. Первый алгоритм для получения решений в виде рядов
Системы под денствнем периодического возмущения
__.__._._______ ЗоЭ
в случае периодического решения был предложен Лаудом [618 619], и в дальнейших исследованиях тот же подход был испоїь-зован для получения рядов, аппроксимирующих квазиперподи-ческие решения [483]. Мы суммируем способы построения периодических решений, основанные на методе Лауда.
Предполагается, что невозмущенная система X = f(x) имеет решение типа орбитно-устойчивого предельного цикла, Х0(щі)'\ Здесь частота o0 задается в явном виде, и когда мы слабо возмущаем систему, ищем периодические решения, «близкие» к X0(O)0O- Последнее требование означает, что возмущенную систему нужно представить в форме
X = f(x) + eb(cy+ 6, X, є) (9.11)
которая отличается от предыдущих систем появлением неопределенного сдвига фазы б. Заранее не известно, существует ли периодическое решение, близкое к Xo ((DoO > н0 если такое решение существует, то оно должно иметь определенный сдвиг фазы б по отношению к возмущению. Одной из целей алгоритма Лауда является определение б.
Немного отклоняясь от темы, мы должны вывести несколько следствий из теоремы Флоке [1021], которые нам понадобятся: линеаризованная система
6Х = (dt/дХ IxJ 6Х (9.12)
имеет п различных векторных решений. Одни из этих векторов— X0, а другие п—1 затухают экспоненциально. Запишем эти векторы как столбцы матрицы Q при условии, что Хэ является крайним левым столбцом. Очевидно, получаем
« = (c7f/c7xUQ (9.13)
Определим сопряженный вектор z0 как верхнюю строку рицы Q-1. Вектор Z0 также является периодическим с 1 той too, и он удовлетворяет тождеству
zn-Xn=I (9-14)
мат-іасто-
Возвращаясь к возмущенной задаче (9.11), мы выражаем частоту возмущения через со0, произвольные простые числа и т и амплитуду е: ,„
сор = (n/m) (о0 + ет) (J'Ioj
"^Т^Гчески это означает, что все показатели флоК^1^^о^ исключением одного, который равен нулю. Эта ситуация по' , осто
"яется для предельных циклов химических систем. Нулевой пока уа_
означает, что это решение не является устойчивым по отпошеш. ЦИям фазы.
340
Глава 9. П. Ремус. Дж. Росс
Теперь подставим разложение Х->-X0 + еХ, + є X2 + / -^(п/т)иот/((/г/т)и0 + ЕТ|) и выражение (9.15) для и„ в уравнение (9.11). Каждое X; предполагается периодическим. Собирая уравнения для каждой степени є, получаем
порядка e0: (djdx) X0 = f (X)
порядка г1: (djdx) X1 = (ді/дХ |Хо) X1 +
+ Ъ [(піт) а>0т + 6, X0, 0] - (mr|/»4i) f (X)
порядка: e2: (djdx) X2 = (df/дХ |Xn) X2 4- f (X, ¦ Vx)-/2] f Ix. +
4- (дЪ/дХ) [(п/т) M0T 4- 6, X, 0] |x_ X1 +
4- (5b/*) [(n/m) U)11X 4- 6, X0, e] |e_o — (пщ/іт0) (djdx) X1
Решение порядка є0 представляет собой Х0(шот), что соответствует прежнему невозмущеипому решению со слегка возмущенной частотой. Общее решение для X1 порядка є1 имеет вид
X, = OC1 4- О \ Q-' {b KnIт) (о0т 4- 6, X0, 0] -
— (тц/пщ) (d/dx) X0} dx (9.16)
где C1 — вектор начальных условий, а интеграл снова является неопределенным. Однако общее решение пе периодическое, если только не выбрать некоторым специальным образом п неопределенных констант вектора C1 н константы 6 и ц. Существует только один способ сделать члены X1, содержащие экспоненты, периодическими — считать составляющие вектора C1 со 2-й по ню равными пулю. Это означает, что
' О
C =
I о
(9.17)
Первая составляющая вектора X1 пе является периодической, потому что при интегрировании возникает секулярный член. Ii-обы избавиться от сскуляриого члена, мы должны выбрать о н і] так, чтобы [(H1J]
\ Z0 • (Ь \(п/т) Юит 4 6, X0, 0] - (//01//KO0) (d/dx) X0} dx (9.18)
Уравнение (9.18) является фундаментальным для определения ширины полос захвата, относительной ширины полос захвата и существования множества углов захвата фазы при синхронизации (и, следовательно, множественных периодических аттракторов). Каждая из этих характеристик будет рассмотрена отдельно.
а) Ширина полос захвата. Так как z0-(с1/с!т)\а = 1 (см. (9.14)], то ясно, что, если т| слишком велико или слишком мало, никакое значение 6 не будет удовлетворять уравнению (9.18). Физически это означает, что не существует периодического решения в данной форме, поскольку частота возмущения слишком далека от целого кратного со0. Поэтому, чтобы обеспечить существование по крайней мере одного периодического решении, мы должны выбрать і] так, чтобы
тіпФ(б)< и < тахФ(6) (9.19)
б 6
где
(P (6) = (пь>1/2тп°-) J z0 -Ь[(п/ш)(00т + 6, X0, O](It (9.20)
о
Для данного вида возмущения eb периодическое решение существует для частот возмущения, удовлетворяющих условию
(ч/т) co0 + є [min Ф (б)] < <в„ < (а/т) со0 + є [шах Ф (6)] (9.21)
б б
Это выражение объясняет острия, появляющиеся при малых е (рис. 9.3).
