Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
о
+ (дЬ/дХ) [(n/m) (о0т + б,, X, 0] |х=Хо X0 — (тц/пщ) X0} dx -f
2ят/со0
+ \ ^0-(0/2) (V ¦Vx)8 Hx-X.+
о
+ (гЗЬ/аХ) [(я/т) (о0т + о, X, 0] |х=Хо v + + (дЬ/де) [(піт) (о0т + 6h X0, є] |є=0 + (тц/пщ) v} dx (9.34)
тде
v = Й ^ Q~'b [(n/m) Cu0T + б,-, X0, 0] dx (9.35)
.а точка над вектором означает производную по т. Уравнение (9.34) является квадратным относительно С\, но после некоторых вычислений можно получить тождество
2ят/соо
0= \ dT.V (X0- Vx)2 f|x=Xo(Wot) (9-36)
о
Зто сводит уравнение (9.34) к линейному уравнению по с\, которое, очевидно, имеет единственное решение *:
І2ят/со0 \ rf^V [(V Vx)(V-Vx) fix=Xo + о
+ (ab/aX) [(я/т) (D0T + бь X, 0] ]х=Хо X0 -о
-(ZnVnCO0)X0]}-1 \ Z0-{[(V Vx)V2I1Ix-X.+
2ят/соо
+ (аь/ах) [(л/т) «от + б,., х, о] |х=Хо v +
+ (аь/ае) [(л/т) (B0T + 6„ X0, е] |Е=0 + (тфщ) v} dx (9-37) Индекс і введен, чтобы отметить соответствие определенному сдвигу фазы. 0.
Такие же расчеты были проведены для членов более х кого порядка по е, чтобы определить X2, X3 и т. д. ° P д
* Отметим, что это решение заведомо ограничено на плотном ¦стве в окрестности г|.
Системы под действием периодического возмущения
345
случаях оказывается, что Ф(6) равно нулю для всех б В этом случае переписываем выражение (9.15) в виде щ = (п/т)т+ + е"'П и вводим новое время следующим образом- tZ-->(п/т)соот/((п/т)соо + е'«)1). Величины ті, при которых на рис. 9.4 имеются вырожденные корни, определяют границы внутри разрешенного интервала ц (и, следовательно, разрешенного интервала юр), разделяющие области с разным числом периодических решений. Для данного возмущения это означает, что число различных существующих периодических решений изменяется, когда сор пересекает эти границы. Пример такого явления приведен в разд. 9.3.2.
Кульминацией и итогом этого подраздела является получение решений типа предельного цикла. Для сор, ограниченных соотношением (9.21), п возникающих предельных циклов, Х(,), определяются выражениями
Х(0 = Х0 (CO0T) + A (CO0T) +
+ ей Q-' (b [(«/m) CO0T + б,, X0 {т0х), 0] — (тг)/псо0) X0 (со0х)} dx +
+ С? (є2), /=1,2,...,,1' (9.38)
Величина т] определяется из (9.15) при заданных со0 и сор. Число п' — это деленное пополам число корней уравнения (9.18), а 6; — корни этого уравнения, которые удовлетворяют также условию (9.30). Значения сі" определяются из выражения (9.37).
9.3. Анализ конкретных химических моделей
В этом разделе мы используем три химические системы, чтобы продемонстрировать использование алгоритмов, рассмотренных в разд. 9.2 для слабых периодических возмущений, сначала применительно к узлам (или фокусам), а затем к устойчивым предельным циклам. И наконец, рассмотрим сильные возмущения, где результаты не зависят от исходной траектории невозму-щенной системы, но общность подхода в этом случае оолес ограничена, чем в двух предыдущих.
9.3.1. Периодически возмущаемый узел в системе трех переменных
Чтобы показать влияние малых возмущений на автономную систему в стационарном состоянии (узел), рассмотрим схему ? акции
X3 ->¦
X2 + X3 — +
зк
Глава 9. П. Ремус, Дж. Росс
Сделаем следующие предположения: I) X1 и нтеклют
в ПРПП со скоростями kfX°\ и ftfA'S; 2) псе соеднпенпи Л', вытекают со скоростями kfXr, 3) скорости двух реакций второго порядка малы по сравнению с k2 и параметром протока It1. Поэтому *i->-S*i и *з-»-г*з, где ь — малый параметр. Это предположение упрощает алгебру, так что действия с матрицами становятся более наглядными. При этих условиях получаем следующие кинетические уравнения:
.V1 = k,X° - It1X1 - Ik1X1X3
X2 = к,Х° - It1X2 - SA1JT1JT2 + SA3JT2JT3 9.40)
.Y3 = - It1Xi - It2X3 + Ik1X1X2 - Ik3X1X3
Концентрации А'4 и X5 не влияют на динамику системы, их можно просто определить по известным Jf2 и X3. Вычисляя стационарное состояние для вектора X* s= (Xi1 X2, X3), получаем
Jf?-С (S) Jf°-tf(S) [6ft,*°X}/(ft,+ ft,)] + О (S2)
(9.41)
Матрица первых производных для системы (9.40), соответствующая уравнению (9.2), записывается как
-(A,+ SA1XlJ) -6*,*? О
ах I
-6*1*2
-(*, + «м!)
-(A,+ ft,+ 6*з*?.)
+
+ 0'(S2) (9.42)
Общее матричное решение для релаксирующен системы, соответствующей уравнению (9.2), имеет вид
Q =
1 О О
0 1 0 1 + 0(1)
О 0 1
ехр
?V О О О A2' О О О X3I
(9.43)
Три релаксационных собственных значения равны }; = -k, + OU >.s = -ft, + Cf(I), A3=-(ft, + /e2) + tf(S)
(9.44)
Так как все отрицательны при малых ?, то стационарное состояние является устойчивым узлом. Если перед k, пли кг в качестве множителя пе стоит малый параметр, то А, должны
Системы под дейстпнем периодического возмущения
быть определены как корн,, кубического уравнения Rn слабое возмущение уравнения. Введем
бЬ = ;
COS (?>pt
о
О
(9.45)
в уравнения (9.40). Согласно выражению (9.3), периодическое решение представляет собой ^^Дпческое
'V о о
