Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
В четвертой главе приводятся основные понятия и классификация интегральных уравнений. Изучены интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма, а также интегральные уравнения с симметрическим ядром и задачи на собственные значения.
В пятой главе рассмотрены дифференциальные уравнения в частных производных первого и второго порядков. Выведены основные уравнения математической физики и приведены постановки основных краевых задач. Изучены методы характеристик и разделения переменных (метод Фурье) для решения задачи Коши, начально-граничных и граничных задач для уравнений математической физики. Изложены методы потенциала и интегральных уравнений для решения граничных задач для уравнения Лапласа в произвольной области.
В каждой главе приводятся примеры для иллюстрации изложенных теоретических утверждений. После каждой главы, кроме первой, приводятся задачи для самостоятельного решения. Среди предложенных задач содержатся примеры функциональных уравнений, которые предлагались на различных математических олимпиадах для студентов и школьников.
Основной целью предлагаемого учебного пособия является знакомство читателей с классическими методами решения наиболее важных классов функциональных уравнений и обеспечение читаемых лекционных курсов по теории дифференциальных и интегральных уравнений и уравнений математической физики доступным учебным материалом для организации самостоятельной работы студентов. Оно написано на основе лекций, прочитанных автором для студентов физико-математического факультета Стерлитамакской государственной педагогической академии.
Данное пособие предназначено, прежде всего, для студентов математических, физико-математических, технических факультетов ВУЗов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика и информатика», «Информатика», «Физика», а также для учителей математики, информатики, физики и учащихся старших классов гимназий, лицеев и средних школ с углубленным изучением математики, информатики и физики. Оно может быть использовано для факультативных занятий, организации кружковой работы и подготовки к математическим конкурсам.
Автор выражает искреннюю благодарность академику РАН профессору В.А. Ильину, профессорам Н.Х. Розову, И.С. Ломову, И.А. Калиеву, доцентам Л.А. Лазаренко, А.Х. Исянгильдину, В.З. Вагапову, прочитавшим рукопись, за обнаруженные опечатки, неточности и советы по улучшению качества изложения, а также Н.В. Перемолотовой за компьютерный набор и верстку.
Автор будет благодарен всем лицам, которые направят свои пожелания и замечания по электронной почте E-mail: sabitov@sgpi.bashedu.ru.
Автор
ГЛАВА 1
Вспомогательные сведения из курса математического
анализа
§ 1. Действительные числа
1. Рациональные числа. Понятие числа прошло длинный путь развития. В связи с необходимостью пересчета конкретных предметов возникли простейшие числа - натуральные. Множество этих чисел бесконечно и обозначается символом N:
Операция вычитания во множестве натуральных чисел привела к необходимости расширения множества N, т.е. к появлению целых
отрицательных чисел. Множество целых чисел обозначают символом Z и его можно написать следующим образом:
Операция деления во множестве целых чисел привела к новому расширению, то есть к появлению рациональных чисел вида p/q, где р и q -целые числа, причем q Ф 0. Два рациональных числа pfq и />,/#, считаются равными, если РЧ\=Р\Ч- Поэтому каждое рациональное число можно единственным образом представить в виде несократимой дроби p/q, где peZ, q е N. Множество рациональных чисел обозначают символом Q и его можно написать так
На множестве Q можно ввести арифметические операции над рациональными числами и сравнение таких чисел, которые обладают определенной системой свойств.
Множество рациональных чисел обладает одним очень существенным недостатком: между числовой прямой (осью) и множеством Q не существует взаимно однозначного соответствия. В самом деле, построим числовую ось (под числовой осью понимают прямую, на которой выбраны определенная точка О -начало отсчета, масштабный отрезок ОЕ, длину которого принимают равной единице, и положительное направление, обычно слева направо) (рис. 1).
7V = {l, 2, 3,..., п,
Z = {..., -п,-2, -1, 0,1, 2, п, ...} = -{к I к е N или -к е N или к = 0} .
р е Z, q е N, р п q- взаимно простые
О Е
М
Рис. 1
Каждому рациональному числу т/п, где т и п - взаимно простые, meZ, п е N, на числовой оси соответствует определенная точка. Используя теорему Фалеса, построим отрезок, длина которого составляет 1/я часть длины отрезка ОЕ. Затем, откладывая на числовой оси вправо от точки О (если т> 0) т раз отрезок, длина которого составляет 1/и часть ОЕ, получим точку М, соответствующую рациональному числу mjn. Обратно, не каждой точке М числовой оси соответствует рациональное число. Так, например, если точка М выбрана так, что длина отрезка ОМ равна длине диагонали квадрата, сторона которого отрезок ОЕ, то по теореме Пифагора длина х
