Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
г) строго возрастающей (строго убывающей), если для любого пе N справедливо неравенство ап < ап+1 (ап > ап+1);
д) возрастающей (убывающей), если для любого пе N справедливо неравенство ап <ап+1 (ап >а„+1).
Пусть (хп) - произвольная числовая последовательность. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел (Pn)-Pi <Pi <-<Рп < - ¦ Тогда последовательность (xPii) называется
подпоследовательностью последовательности (хп).
Определение 1. Действительное число а называется пределом последовательности (хп), если для любого числа е > 0 существует натуральное число (номер) п0 такое, что при всех натуральных п> п0 выполняется неравенство \xn- a\< ?. Это обозначают символом lim xn-a, или Ншх„ = a, или хп —> a .
Л-»+сс
2 — 5026
17
Пусть а = aQ,ala2...an... произвольное действительное число, а (г„) и (г'п)- последовательности его десятичных приближений соответственно по недостатку и по избытку: гп - а0,а1а2...ап, г'п = а0,а:аг...(ап +1). Тогда
гп<а <г'п и г'п —гп = 10"". Отсюда следует, что
lim гп = lim r'n = а.
' л—>+ оо п—>+ оо
Следовательно, любое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.
Если последовательность (хп) имеет предел, равный действительному числу а, то говорят, что она сходится к а, и называют ее сходящейся. В случае когда последовательность (хп) не имеет конечного предела, она называется расходящейся.
Теорема 1. Если последовательность (хп) сходится, то
а) она не может иметь двух различных пределов; б) она ограничена;
в) любая ее подпоследовательность сходится, причем сходится к тому же пределу, что и сама последовательность.
Последовательность (an) называется бесконечно малой, если lim an = 0.
Пусть действительное число а является пределом последовательности хп. Тогда разность xn-a = an является бесконечно малой
последовательностью. Обратно, если xn - a + an, где an - бесконечно малая
последовательность, то xn a. Следовательно, справедлива
Теорема 2. Для того чтобы последовательность (хп) сходилась к числу
a, необходимо и достаточно, чтобы xn = a+ an, где (an) - бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Если последовательности (хп) и (уп) сходятся к числам а и Ъ соответственно, т.е. limjc„ =a и limy„ = b , то
а) lim(x„ ±уп) = a±b = limjc„ ± lim^ ;
a limx„
б) lim(х„у„ ) = a-b = hmxn ¦ limyn; в) lim— = — =------, b Ф 0.
Уп Ь Шун
Теорема 4. Если lim xn-a и lim y„-b и xn<yn при всех n>n0eN, mo limxn < limj^, m.e. a<b. Если limjcn=lim yn-a и при всех n>n0 выполняется условие xn < zn < уп, то lim zn = a.
Последнее утверждение часто называют теоремой о пределе промежуточной последовательности.
Для монотонных последовательностей справедлива следующая теорема, которая имеет важное применение.
Теорема 5. Если последовательность (хп) возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она сходится, при этом
\iraxn = sup(x„) (limx„ = inf (xn)).
На основании теоремы 5 доказывается существование предела
( iY
lim 1 + — ,
П->+CO ^ n ^
который принимают за число е. Число е является иррациональным. Вычисления показывают, что
е =2,718281828459045... .
Число е имеет многочисленные приложения в курсе математического анализа и других областях математики. Например, на его основе определены функции у - ехр х = ех, у = loge х = In х.
В теории пределов важную роль играют следующие утверждения.
Теорема 6 (теорема Больцано1 - Вейерштрасса ). Из произвольной ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 7 (критерий Коши3). Для того чтобы произвольная
последовательность (хп) была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы она была фундаментальной, то есть для любого ? > 0 существует
номер п0, такой, что для всех натуральных п и т> п0 выполняется
неравенство (хп - хт | < ?.
§ 4. Предел функции
Пусть a - некоторая точка числовой оси. Окрестностью точки a называется всякий интервал с центром в этой точке. Интервал (а-?, а + ?), где ?>0, называется ? - окрестностью точки а и обозначается символом U (я, О (рис. 2).
as х a as
Итак,
U(a,f)= (а- ?, а + ?) = {х\а-? < х <а + ?} = {x||x-a|<f}.
Здесь точка а называется центром, а ? >0 - радиусом окрестности \J(a,?) . При этом следует отметить, что расстояние | а — х | = | х - а | между центром а и любой точкой х окрестности U(^,f) меньше радиуса ? .
1 Больцано Бернгард (1781 - 1848) - чешский математик.
2 Вейерштрасс Карл (1815 - 1897) - немецкий математик.
